Фрактал
From Wikipedia, the free encyclopedia
У матэматыцы фрактал (лац.: fractus — дроблены, зламаны, разбіты) — гэта падмноства эўклідавай прасторы з фрактальнай памернасцю (у сэнсе Мінкоўскага або Хаўсдорфа), якая строга перавышае яе тапалагічную памернасць. Фракталы выглядаюць аднолькава ў розных маштабах, як паказана ў паслядоўных павелічэннях мноства Мандэльброта. [1] [2] [3] [4] Фракталы дэманструюць падобныя ўзоры ва ўсё меншых маштабах. Гэта ўласцівасць, званая самападабенствам, таксама вядомая як пашыраючаяся сіметрыя або сіметрыя разгортвання. Калі такое падабенства абсалютна аднолькавае ў кожным маштабе, як у губкі Менгера [5], яно называецца афінным самападабенствам. Фрактальная геаметрыя ляжыць у рамках матэматычнай галіны тэорыі меры.
Адным са спосабаў адрознення фракталаў ад канчатковых геаметрычных фігур з’яўляецца іх маштабаванне. Падваенне даўжыні краю шматвугольніка памнажае яго плошчу на чатыры, што складае два (адносіны даўжыні новай да старой стараны) у ступені два (памернасць прасторы, у якой знаходзіцца шматкутнік). Калі радыус сферы павялічыцца ўдвая, яе аб’ём павялічыцца ў восем разоў, што роўна два (адносіны новага радыусу да старога) у ступені тры (вымярэнне, у якім знаходзіцца сфера). Аднак, калі ўсе аднамерныя даўжыні фрактала падвоіць, плошча або аб’ём фракталу павялічыцца ў ступені, якая не абавязкова з’яўляецца цэлым лікам. [1] Гэтая ступень называецца фрактальнай памернасцю фрактала, і яна звычайна перавышае тапалагічную памернасць фрактала. [6]
Аналітычна большасць фракталаў не дыферэнцыруюцца канечным лікам бакоў. [1] [4] Бясконцая фрактальная крывая можа ўяўляцца як лінія ў прасторы, што праходзіць інакш, чым прамая лінія, — хоць яна па-ранейшаму з’яўляецца тапалагічна 1-мернай, яе фрактальная памернасць паказвае, што яна таксама нагадвае паверхню. [1] [6]
Пачынаючы з 17-га стагоддзя з паняццямі рэкурсіі, фракталы прайшлі праз больш строгую матэматычную апрацоўку і вывучэнне бесперапынных, але не дыферэнцыруемых функцый у 19-м стагоддзі дзякуючы працам Бернарда Бальцана, Бернхарда Рымана і Карла Вейерштраса. [7] Слова «фрактал» увёў Бенуа Мандэльброт у 1975 годзе і выкарыстаў яго для пашырэння паняцця тэарэтычных дробавых памераў на геаметрычныя ўзоры ў прыродзе. Яно стала шырока вядома з выхадам у 1977 годзе яго кнігі «Фрактальная геаметрыя прыроды». З развіццём вылічальнай тэхнікі з’явілася магчымасць больш хуткага графічнага выяўлення фракталаў. [8] [9]
Сярод матэматыкаў існуюць некаторыя рознагалоссі наконт таго, як павінна быць фармальна вызначана паняцце фрактала. Сам Мандэльброт рэзюмаваў гэта як «прыгожае, надзвычай цяжкае, усё больш карыснае. Гэта фракталы». [10] Больш фармальна, у 1982 годзе Мандэльброт вызначыў фрактал наступным чынам: «Фрактал — гэта мноства, для якога памернасць Хаўсдорфа-Безіковіча строга перавышае тапалагічную памернасць». [11] Пазней, лічачы гэта занадта абмежавальным, ён спрасціў і пашырыў вызначэнне да наступнага: «Фрактал — гэта форма, складзеная з частак, у нечым падобных да цэлага». [12] Яшчэ пазней Мандэльброт прапанаваў «выкарыстоўваць фрактал без педантычнага вызначэння, выкарыстоўваць фрактальную памернасць у якасці агульнага тэрміна, які ўжываецца да ўсіх варыянтаў». [13]
Сярод матэматыкаў адзіны кансэнсус заключаецца ў тым, што тэарэтычныя фракталы — гэта бясконца самападобныя, паўтараючыяся і дэталёвыя матэматычныя структуры, якія маюць фрактальныя памеры, прыкладаў якіх было сфармулявана і вывучана шмат.
Фракталам можа называцца прадмет, які праяўляе, па меншай меры, адну з наступных уласцівасцяў:
- Мае нетрывіяльную структуру на ўсіх маштабах. Пры набліжэнні ў маштабе да звычайных фігур: акружнасці, эліпсу, графіку гладкай функцыі — фрагмент фігуры будзе нагадваць фрагмент прамой. Для фрактала павелічэнне маштабу не вядзе да спрашчэння структуры, і ва ўсіх маштабах бачна аднолькава складаная выява.
- З’яўляецца самападобным або прыблізна самападобным.
- Мае дробавую метрычную памернасць або памернасць, якая перавышае тапалагічную памернасць.
Прыклады аб’ектаў у прыродзе, што маюць уласцівасці фрактала: узбярэжжа, аблокі, кроны дрэў, сняжынкі, сістэма кровазвароту, альвеолы і інш. Фракталы не абмяжоўваюцца геаметрычнымі ўзорамі, але таксама могуць апісваць працэсы ў часе. Фрактальныя ўзоры з рознай ступенню самападабенства былі апрацаваны або вывучаны ў візуальных, фізічных і слыхавых носьбітах і знойдзены ў тэхналогіях, мастацтве, архітэктуры [14] і праве. Фракталы маюць асаблівае значэнне ў галіне тэорыі хаосу, таму што графікі большасці хаатычных працэсаў з’яўляюцца фракталамі. Многія рэальныя і мадэльныя сеткі маюць фрактальныя асаблівасці, такія як самападабенства.