Polinomi minimal
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, el polinomi minimal d'un nombre algebraic és una noció derivada de l'àlgebra lineal, serveix per fonamentar dues teories.
La teoria clàssica de Galois té com a camps d'estudi certs cossos commutatius, construïts per les extensions finites de cossos inicials com un cos finit o el dels nombres racionals. El polinomi minimal proveeix un mètode natural per construir tals extensions. Aquestes arrels es fan servir per elucidar les propietats d'una noció fonamental, el grup de Galois. Un teorema clau, com el de l'element primitiu s'expressa en termes de polinomi minimal.
La teoria de nombres algebraics estudia els enters algebraics. Es defineixen amb l'ajuda d'un polinomi minimal. El seu anàlisi permet explicitar les propietats d'eines de l'aritmètica com el discriminant d'un anell, o la norma (matemàtiques) d'un nombre algebraic. Les propietats d'un polinomi minimal d'un enter algebraic es fan servir per a la demostració de nombrosos resultats, com l'estructura del grup de les classes dels ideals o el teorema de les unitats de Dirichlet. Un exemple relativament simple d'utilització és el dels cossos quadràtics, marc d'estudi dels nombres algebraics inclosos en una extensió quadràtica.
En àlgebra lineal hi ha una noció connexa, anomenada polinomi mínim d'un endomorfisme.