Superfície de Riemann
varietat complexa unidimensional / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques i particularment en anàlisi complexa, una superfície de Riemann (anomenada així en honor de Georg Friedrich Bernhard Riemann) és una varietat complexa d'una dimensió. Les superfícies de Riemann es poden imaginar com a "versions deformades" d'un pla complex: localment poden semblar unes 'peces' (o conjunts oberts) del pla complex, però la topologia global pot ser força diferent. Per exemple, poden ser homeomorfes a una esfera, a un torus o a un parell de fulls enganxats.
La qüestió principal sobre les superfícies de Riemann és que es poden definir les funcions holomorfes entre elles. Avui en dia les superfícies de Riemann són considerades el context natural per a estudiar el comportament global d'aquestes funcions, especialment les funcions multívoques com la funció arrel quadrada o el logaritme natural.
Cada superfície de Riemann és una varietat analítica real de dues dimensions, però també té una estructura complexa, necessària per a una definició no ambivalent de les funcions holomorfes. Una varietat real de dues dimensions pot ser transformada en una superfície de Riemann (generalment de moltes maneres no equivalents) si i només si és orientable. Així l'esfera i el torus admeten una estructura complexa, però no la banda de Möbius, l'ampolla de Klein o el pla projectiu.
Els fets geomètrics a propòsit de les superfícies de Riemann són els millors possibles, i forneixen la intuïció i la motivació per a la generalització a altres corbes o varietats. El teorema de Riemann-Roch és un exemple important d'aquesta influència.