Varietat (matemàtiques)
espai topològic que localment és difeomòrfica a l'espai euclidià / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, més específicament en topologia, una varietat és un espai topològic en el qual tots els punts tenen un veïnat que «s'assembla» (és a dir, és homeomorf) a l'espai euclidià. La dimensió d'una varietat és la dimensió de l'espai euclidià amb què es relaciona: si és amb una recta és unidimensional, amb un pla bidimensional, etc. Encara que una varietat s'assembla a l'espai euclidià localment, l'estructura global de la varietat pot ser molt més complicada. Per exemple, qualsevol punt en una superfície esfèrica té una regió petita que l'envolta que es pot assimilar a una regió del pla (com en un atles del món), tot i que l'esfera no es pot fer correspondre completament al pla: no és homeomorfa al pla.
Per a altres significats, vegeu «Varietat». |
Les varietats són importants en matemàtiques, principalment després que s'hi afegeixi una estructura addicional. Per exemple, les varietats diferenciables tenen definida un estructura diferenciable (amb la qual es pot reproduir el càlcul infinitesimal), mentre que les varietats riemannianes són varietats diferenciables que també tenen un producte escalar definit en el seu fibrat tangent (que permet calcular distàncies i angles, així com longituds de corbes), les varietats simplèctiques com per exemple l'espai de les fases en mecànica clàssica, o en quatre dimensions les varietats pseudoriemannianes emprades com a model de l'espaitemps en relativitat general.
També podríem definir una varietat com un espai topològic abstracte, construït en enganxar de manera apropiada espais més simples. De la mateixa manera que els nens es diverteixen construint amb paper tetraedres, cubs i altres poliedres, dibuixant la figura en un full, tallant-ne les vores, plegant i enganxant, els matemàtics obtenen un cercle unint els extrems d'un segment, i un cilindre o un con plegant una tira plana sobre ella mateixa. Un altre exemple clàssic és la banda de Möbius. També és possible afegir nanses a una esfera.
Entre les varietats més simples figuren les corbes i les superfícies del pla i de l'espai euclidià. Tot i que tradicionalment es defineixen a partir d'equacions, les superfícies (per exemple) també es poden definir, igual que els poliedres, enganxant «trossos de pla» segons unes «instruccions de muntatge». Aquesta és la manera general de definir les varietats.
És difícil dir qui va ser el primer que va estudiar les corbes i les superfícies. Gauss disposava de la notació de superfície abstracta, però la noció de varietat general en una dimensió qualsevol s'atribueix a Bernhard Riemann. Les varietats són el marc natural per a l'estudi de nombrosos problemes de matemàtiques i de física, ja que permeten treballar en un marc més ampli que el que proporcionen els espais vectorials. A vegades aquests s'anomenen espais plans en oposició als espais corbats que són les varietats.
Les varietats constitueixen a la vegada un marc i un subjecte d'estudi comú tant per matemàtics com a físics. Les varietats són bones eines de treball per a formalitzar la teoria de la relativitat general d'Einstein i són indispensables en la recerca de noves teories físiques, com la teoria de cordes, la teoria de membranes, ... També han esdevingut eines útils (fins i tot indispensables) en els recents treballs de mecànica clàssica.