Θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας
From Wikipedia, the free encyclopedia
Το Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (ή Θεώρημα ντ' Αλαμπέρ-Γκάους) είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα στα μαθηματικά. Σύμφωνα με αυτό, όλα τα πολυώνυμα με μιγαδικούς συντελεστές έχουν τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα.
Ο τυπικός ορισμός του θεωρήματος είναι:
Κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής, μη μηδενικού βαθμού και με μιγαδικούς συντελεστές, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών.
Το θεώρημα διατυπώνεται και ως εξής: Κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο μίας μεταβλητής και βαθμού n με μιγαδικούς συντελεστές έχει, συμπεριλαμβανομένων των πολλαπλοτήτων, ακριβώς n ρίζες. Η ισοτιμία των δύο προτάσεων μπορεί να αποδειχθεί με τη χρήση διαδοχικών πολυωνυμικών διαιρέσεων.
Στην ορολογία της θεωρίας σωμάτων, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό.
Παρόλο το όνομά του, δεν υπάρχει αμιγώς αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος, καθώς κάθε απόδειξη πρέπει να χρησιμοποιεί την πληρότητα των πραγματικών (ή κάποια ισοδύναμη σύνθεση), η οποία δεν είναι αλγεβρική έννοια. Επιπλέον δεν είναι θεμελιώδης για τη σημερινή άλγεβρα, έλαβε το όνομά του σε μία εποχή όπου η μελέτη της άλγεβρας αφορούσε κυρίως την επίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων με πραγματικούς και μιγαδικούς συντελεστές.