Gaŭsa entjero
kompleksa nombro de formo m+ni, kie m kaj n estas entjeroj / From Wikipedia, the free encyclopedia
Gaŭsa entjero estas kompleksa nombro kies reela kaj imaginara partoj ambaŭ estas entjeroj. La gaŭsaj entjeroj, kun ordinara adicio kaj multipliko de kompleksaj nombroj, formas integrecan ringon, kutime skribitan kiel Z[i]. Ĉi tiu ringo ne povas esti konvertita en orditan ringon, ĉar ĝi enhavas kvadratan radikon de -1.
Formale, gaŭsaj entjeroj estas la aro
La normo de gaŭsa entjero estas la natura nombro difinita kiel
- N(a + bi) = a2 + b2.
La normo estas multiplika, tio estas
- N(z·w) = N(z)·N(w).
La unuoj de Z[i] estas pro tio precize tiuj eroj kun normo 1, tio estas la eroj
- 1, −1, i kaj −i.
La primaj eroj de Z[i] estas ankaŭ nomataj gaŭsaj primoj. Iuj primoj (kiuj, kontraste, estas iam nomataj kiel "racionalaj primoj") estas ne gaŭsaj primoj; ekzemple 2 = (1 + i)(1 − i) kaj 5 = (2 + i)(2 − i). Tiuj racionalaj primoj kiuj estas kongruaj al 3 (mod 4) estas gaŭsaj primoj; tiuj kiuj estas kongruaj al 1 (mod 4) ne estas. Tio estas pro tio, ke primoj de la formo 4k + 1 ĉiam povas esti skribitaj kiel la sumo de du kvadratoj (teoremo de Fermat), do, ni havas
- p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi).
Se la normo de gaŭsa entjero z estas primo, tiam z devas esti gaŭsa primo, ĉar ĉiu ne-bagatela faktorigo de z devus liveri ne-bagatelan faktorigon de la normo kaj neredukteblaj normoj estas primoj. Do, ekzemple 2 + 3i estas gaŭsa primo, ĉar ĝia normo estas 4 + 9 = 13.
Gaŭsa kriterio de tio ke gaŭsa entjero a+bi estas gaŭsa primo estas:
- a+bi estas gaŭsa primo se unu el la du sekvaj veras:
- Unu el a, b estas nulo kaj la alia estas primo de la formo 4k + 3 aŭ ĝia negativo -(4k + 3).
- Ambaŭ a kaj b estas nenulaj kaj a2 + b2 estas primo.
La ringo de gaŭsaj entjeroj estas la integrala fermaĵo de Z en la kampo de gaŭsaj racionaloj Q(i) konsistanta el la kompleksaj nombroj kies reela kaj imaginara partoj estas ambaŭ racionalaj.
Estas facile vidi grafike, ke ĉiu kompleksa nombro estas en unuoj de gaŭsa entjero. Alivorte, ĉiu kompleksa nombro (kaj tial ĉiu Gaŭsa entjero) estas en unuoj de iu oblo de z, kie z estas kiu ajn gaŭsa entjero; tio faras el Z(i) eŭklidan ringon, kie v(z) = N(z).