En matemáticas , las tres clásicas medidas pitagóricas son la media aritmética (AM), la media geométrica (GM), y la media armónica (HM). Se definen por:
A
M
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
1
n
(
x
1
+
⋯
+
x
n
)
{\displaystyle AM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\frac {1}{n}}\,(\,x_{1}+\,\cdots \,+x_{n}\,)}
Una construcción geométrica de la media cuadrática y las medias de Pitágoras (de dos números a y b). Media armónica denotado por H, geométrico por G, Aritmética por A y media cuadrática denotada por Q.
La comparación de las medias aritméticas, geométricas y armónicas de un par de números. Las líneas de trazos verticales son asíntotas para los medios armónicos.
G
M
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
|
x
1
×
⋯
×
x
n
|
n
{\displaystyle GM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\sqrt[{n}]{\,\left\vert \,x_{1}\,{}_{{}^{\times }}\,\cdots \,{}_{{}^{\times }}\,x_{n}\,\right\vert \,}}}
H
M
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
n
1
x
1
+
⋯
+
1
x
n
{\displaystyle HM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\frac {n}{\displaystyle \ {\frac {1}{x_{1}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{x_{n}}}\ }}}
Cada medio tiene las siguientes propiedades:
Preservación de valor:
M
(
x
,
x
,
…
,
x
)
=
x
{\displaystyle M(x,x,\ldots ,x)=x}
Homogeneidad de primer orden:
M
(
b
x
1
,
…
,
b
x
n
)
=
b
M
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle M(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=bM(x_{1},\ldots ,x_{n})}
Invariancia bajo intercambio:
M
(
…
,
x
i
,
…
,
x
j
,
…
)
=
M
(
…
,
x
j
,
…
,
x
i
,
…
)
{\displaystyle M(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=M(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}
para cualquier
i
{\displaystyle i}
y
j
{\displaystyle j}
.
Promedio:
min
(
x
1
,
…
,
x
n
)
≤
M
(
x
1
,
…
,
x
n
)
≤
max
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq M(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}
.
Estos medios se estudiaron con proporciones en pitagóricos y posteriores generaciones de matemáticos griegos[1] debido a su importancia en la geometría y la música. Los medios armónicos y aritméticas son duales recíprocas de uno al otro para argumentos positivos (
H
M
(
1
/
x
1
…
1
/
x
n
)
=
1
/
A
M
(
x
1
…
x
n
)
{\displaystyle HM(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=1/AM(x_{1}\ldots x_{n})}
). Mientras que la media geométrica es su propio dual recíproco.