Théorème de Poncelet-Steiner
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Dans la branche des mathématiques connue sous le nom de géométrie euclidienne, le théorème de Poncelet-Steiner est l'un des nombreux résultats concernant les constructions à la règle et au compas avec des restrictions supplémentaires imposées aux règles traditionnelles. Ce résultat indique que tout ce qui peut être construit ensemble à la règle et au compas peut être construit à la règle seule, à condition qu'un seul cercle et son centre soient donnés. Ce théorème est lié à l’équivalence du compas rouillé.
- Toute construction euclidienne, dans la mesure où les éléments donnés et requis sont des points (ou des lignes), si elle peut être complétée à la fois avec le compas et la règle ensemble, peut être complétée avec la règle seule à condition qu'il existe au moins un cercle avec son centre dans le plan.
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Bien qu’un compas puisse faciliter considérablement les constructions, il est sous-entendu qu’elle n’a aucun objectif fonctionnel une fois le premier cercle tracé. Toutes les constructions restent possibles, même s'il est bien entendu que les cercles et leurs arcs ne peuvent être tracés sans le compas. Cela signifie seulement que le compas peut être utilisé à des fins esthétiques plutôt qu’à des fins de construction. Tous les points qui définissent de manière unique une construction, qui peuvent être déterminés à l'aide du compas, sont également déterminables sans, quoique avec plus de difficulté.
Les constructions réalisées conformément à ce théorème — reposant uniquement sur l'utilisation d'une règle sans l'aide d'un compas — sont connues sous le nom de constructions de Steiner. Les constructions de Steiner peuvent impliquer n'importe quel nombre de cercles, y compris aucun, déjà dessinés dans le plan, avec ou sans leurs centres. Ils peuvent également impliquer toutes sortes de formes et de courbes uniques préexistantes dans le plan, à condition que la règle soit le seul outil physique à la disposition du géomètre. Alors que le théorème de Poncelet-Steiner stipule l'existence d'un cercle et de son centre, et affirme qu'un seul cercle équivaut à un compas.