Boltzmann-eloszlás

A matematikában, kémiában, és a fizikában a Boltzmann-eloszlás (Gibbs-eloszlásnak is szokták hívni)^[1] egy valószínűség-eloszlás, vagy valószínűség-mérték, mely egy rendszer állapotainak eloszlását jellemzi.

Például a Boltzmann-eloszlás megadja, hogy egy elszigetelt rendszerben milyen valószínűséggel, illetve milyen gyakorisággal fordulhatnak elő egy adott energiával rendelkező molekulák.

Az eloszlást 1901-ben fedezte fel J. W. Gibbs a klasszikus statisztikus mechanika tanulmányozása kapcsán. Ezzel alapozta meg a kanonikus sokaság koncepcióját. Egy még általánosabb beállításban a Boltzmann-eloszlást Gibbs-mértéknek ismerik.

Definíció

A Boltzmann-eloszlás N_i / N részecskére, melyek i állapotban, E_i energiával rendelkeznek:

${\displaystyle {N_{i} \over N}={g_{i}e^{-E_{i}/(k_{B}T)} \over Z(T)}}$

ahol ${\displaystyle k_{B}}$ a Boltzmann-állandó, T a hőmérséklet, ${\displaystyle g_{i}}$, az E_i energiával rendelkező szintek száma; (néha az általánosabb „állapot”-ot használják a szintek helyett). N a részecskék teljes száma, és Z(T) a partíciófüggvény.

${\displaystyle N=\sum _{i}N_{i},}$

${\displaystyle Z(T)=\sum _{i}g_{i}e^{-E_{i}/(k_{B}T)}.}$

Más értelmezésben, egy jól definiált hőmérsékleten lévő egyedülálló rendszernél megadja annak a valószínűségét, hogy a rendszer a specifikált állapotban tartózkodik.

A Boltzmann-eloszlás csak azokra a részecskékre érvényes, melyek elég magas hőmérsékletűek, és sűrűségük elegendően alacsony ahhoz, hogy a kvantumhatások elhanyagolhatók legyenek, és a részecskék a Maxwell–Boltzmann statisztika szerint viselkednek. (Lásd még a Boltzmann-eloszlás deriválása cikket).^[2][3]

A Boltzmann-eloszlást gyakran a β = 1/kT kifejezéssel írják le, ahol a β a termodinamikus béta. Az ${\displaystyle e^{-\beta E_{i}}}$ vagy a ${\displaystyle e^{-E_{i}/(kT)}}$ kifejezéseket, melyek egy állapot relatív valószínűségét adják meg, Boltzmann-tényezőnek hívják; gyakran előfordulnak fizikai és kémiai tanulmányokban.

Amikor az energia egyszerűen a részecske mozgási energiája:

${\displaystyle E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2},}$

akkor az eloszlás helyesen adja meg a gázmolekulák sebességének Maxwell–Boltzmann eloszlását, melyet Maxwell már 1859-ben megjósolt. A Boltzmann-eloszlás azonban jóval általánosabb. Például megjósolja a részecskesűrűség változásait gravitációs térben, ha ${\displaystyle E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}+mgh}$. Valójában az eloszlás mindig alkalmazható, amikor a kvantumhatás elhanyagolható.

Néhány esetben, a folytonossági közelítés használható. Ha g(E) dE állapotok E től E + dE energiával rendelkeznek, akkor a Boltzmann-eloszlás megjósolja az energia valószínűség-eloszlását:

${\displaystyle p(E)\,dE={g(E)e^{-\beta E} \over \int g(E')e^{-\beta E'}\,dE'}\,dE.}$

Ekkor g(E) az állapotok sűrűsége, ha az energiaspektrum folytonos. Az ilyen energiaeloszlást mutató klasszikus részecskék a Maxwell–Boltzmann-statisztika szerint viselkednek.

A klasszikus korlátok esetén, például ${\displaystyle E/(kT)}$ nagy értékeinél, vagy kis állapotsűrűség esetén, amikor a részecskék hullámfüggvényei gyakorlatilag nem fedik át egymást, mind a Bose–Einstein-, mind a Fermi–Dirac-eloszlások Boltzmann-eloszlásokká válnak.

Deriválás

• Lásd Maxwell–Boltzmann-statisztika.

Jegyzetek

1. Landau, Lev Davidovich; and Lifshitz, Evgeny Mikhailovich. Statistical Physics, 3, Pergamon Press [1976] (1980). ISBN 0-7506-3372-7 Translated by J.B. Sykes and M.J. Kearsley. See section 28
2. Derivation of the Boltzmann distribution Archiválva 2010. július 4-i dátummal a Wayback Machine-ben (angolul)
3. Derivation of the Boltzmann Distribution Function^{[halott link]} PDF (angolul)

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Boltzmann distribution című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Landau, Lev Davidovich; Lifshitz, Evgeny Mikhailovich: Statistical Physics. 5 (3 ed.). (hely nélkül): Oxford: Pergamon Press. 1980. ISBN 0-7506-3372-7
• Magyarul: L. D. Landau – J. M. Lifsic – L. P. Pitajevszkij: Elméleti fizika V. Statisztikus fizika I. (Tankönyvkiadó, 1981) ISBN 978-963-2791-33-3

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap