A Levi-Civita-szimbólumot a fizikai vektor- és tenzorszámításban használják. Jele ; értéke nulla, ha van két egyező index, egy, ha az indexek adott sorrendje páros permutáció, és mínusz egy, ha páratlan. Vagyis azt mutatja, hogy páros vagy páratlan sok csere kell-e az indexek rendezéséhez. A matematikában inkább a permutációk előjeléről beszélnek. A szimbólumot Tullio Levi-Civita (1873−1941) olasz matematikusról nevezték el. Használatos megnevezése még a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor.
Az n dimenziós Levi-Civita-szimbólumnak n indexe van, amelyeket általában 1-től n-ig, de néhány alkalmazásban 0-tól n-1-ig számoznak. Így definiálják:
- .
- Két index felcserélése az ellentettjére változtatja: .
- A második tulajdonságból következik, hogy ha két index egyenlő, akkor értéke nulla: .
Jelben
Egy alternatív definíció ugyanazt a szorzatképletet alkalmazza, amivel a permutációk előjelét definiálják:
- .
Jelölje az 1 és n közötti egész számok halmazát! Ekkor a Levi-Civita-szimbólum értelmezhető egy :\{\pi |\pi :N\rightarrow N\}\rightarrow \{-1,0,+1\}\subset \mathbb {R} }
függvényként, ahol , ha π nem bijektív, és , ha π permutáció.
Az -es mátrix determinánsa a következőképpen írható a Levi-Civita-szimbólummal és az Einstein-féle összegkonvencióval:
Általánosabban is teljesül az összefüggés:
- .
A helyére az I identitásmátrixot téve helyére a Kronecker-delta kerül, így mivel , kapjuk a Levi-Civita-szimbólum következő ábrázolását:
- .
ahol a szokásos ortonormált bázis -ben. Ez a mátrix annak a permutációmátrixnak a transzponáltja, ami a vektort -be viszi.
Innen a determinánsok szorzástételével
- .
A Laplace-féle kifejtési tétellel kapható a következő összefüggés, amely a két tenzor első k indexét kontraktálja:
- .
Három dimenzióban
A Levi-Civita-szimbólum ábrázolható a három ortogonális egységvektor vegyes szorzataként:
A két epszilon-tenzor szorzásában újra felhasználjuk a determinánsok szorzástételét, vagyis hogy a szorzat determinánsa megegyezik a tényezők determinánsának szorzatával. Emellett még azt is kihasználjuk, hogy a transzponálás művelete megőrzi a determinánst:
Így a két epszilon-tenzor szorzata felírható Kronecker-delták determinánsaként: