Equazione di Dirac
equazione d'onda per i fermioni relativisticamente invariante / Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
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L'equazione di Dirac è l'equazione d'onda che descrive in modo relativisticamente invariante il moto dei fermioni.
È stata formulata nel 1928 da Paul Dirac nel tentativo di ovviare agli inconvenienti generati dall'equazione di Klein-Gordon (la più immediata formulazione relativistica dell'equazione di Schrödinger), che presenta una difficoltà nell'interpretazione della funzione d'onda portando a densità di probabilità che possono essere anche negative o nulle, oltre ad ammettere soluzioni a energia negativa.
L'equazione di Dirac descrive le particelle mediante uno spinore composto da quattro funzioni d'onda (spinore di Dirac), naturale estensione dello spinore a due componenti non relativistico. È stata un passo fondamentale verso una teoria unificata dei principi della meccanica quantistica e della relatività ristretta (cosiddetta meccanica quantistica relativistica), permettendo di definire una densità di probabilità sempre positiva. Inoltre ha consentito di spiegare la struttura fine dello spettro dell'atomo di idrogeno e il fattore giromagnetico dell'elettrone.
Anche l'equazione di Dirac ammette soluzioni a energia negativa. Dirac ipotizzò l'esistenza di un mare infinito di particelle che occupano gli stati a energia negativa, inaccessibili per via del principio di esclusione di Pauli (mare di Dirac). Dopo lo sviluppo della teoria quantistica dei campi tali stati furono identificati con le antiparticelle, legate alle particelle ordinarie attraverso la simmetria CPT, risolvendo alcuni paradossi originati dall'ipotesi del mare di Dirac.
L’equazione di Klein–Gordon è stato il primo tentativo di rendere relativistica l'equazione di Schrödinger, cioè di inserire il formalismo della relatività ristretta all'interno della meccanica quantistica. Tuttavia essa non ammette un'interpretazione probabilistica naturale, oltre a non considerare una delle caratteristiche fondamentali di una particella quantistica, ovvero lo spin.
Formulazione
Usando la relazione di Einstein tra energia e quantità di moto in forma operatoriale
si arriva all'equazione[1]
Inconvenienti
Il vantaggio dell'equazione di Klein-Gordon è quello di trattare tempo e spazio secondo la geometria dello spazio di Minkowski, mentre l'operatore d'Alembertiano risulta essere un invariante per trasformazioni di Lorentz. Per contro, però, ci sono alcuni "inconvenienti": innanzitutto quello che come soluzioni possono esistere anche stati a energia negativa e che l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda risulta problematica. Secondo l'interpretazione di Copenaghen, infatti, il modulo quadro della funzione d'onda rappresenta la densità di probabilità:
e quindi si deve avere la certezza di trovare la particella se si considera tutto lo spazio, cioè l'integrale della densità di probabilità deve essere uguale a uno
La densità non soddisfa solo la condizione di normalizzazione, ma anche una equazione di continuità. La probabilità di trovare la particella all'interno di un dato volume nello spazio deve però essere relativisticamente invariante: mentre nell'espressione sopra non si trasforma, il volume non è invariante per trasformazioni di Lorentz.
Si può quindi introdurre una densità di probabilità:
come componente temporale di un quadrivettore
che soddisfa l'equazione di continuità
- .
Tuttavia la densità ρKG non è sempre definita positiva, ma può anche essere negativa o nulla: essa, infatti, non è più legata alla norma di un vettore di uno spazio di Hilbert come nel caso della densità di probabilità non-relativistica derivata dell'equazione di Schrödinger.
Si osservi per i bosoni massivi con spin 1, le equazioni del campo sono descritte dalla Lagrangiana di Proca.