リー代数
リー括弧積と呼ばれる非結合的な乗法を備えたベクトル空間 / ウィキペディア フリーな encyclopedia
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数学において、リー代数 (リーだいすう、Lie algebra)、もしくはリー環(リーかん)[注 1]は、「リー括弧積」(リーブラケット、Lie bracket)と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。無限小変換(英語版) (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。
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リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が滑らかであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群が被覆(英語版)による違いを除いて一意的に存在する(リーの第三定理(英語版))。このリー群とリー代数の間の対応(英語版)によってリー群をリー代数によって研究することができる。