аркус хиперболичен синус "arcsinh" (исто така се бележи како "sinh−1", "asinh" или "arsinh")[1][2][3]
и така следователно.
Токму како што точките (cos t, sin t) образуваат круг со единичен радиоу, точките (cosh t, sinh t) ја образуваат десната половина од еднаквостранична хипербола. Хиперболичните функции земаат реален аргумент наречен хиперболичен агол. Големината на хиперболичниот агол е двојна од површината на неговиот хиперболичен сектор. Хиперболичните функции може да се дефинираат врз основа на хиперболичниот триаголник кој го опфаќа овој сектор.
Хиперболични функции постојат во решенијата на многу линеарни диференцијални равенки (на пример, равенката која дефинира верижница), од некои кубни функции, во пресметките на агли и растојанија во хиперболичната геометрија, во Лапласовата равенка во Декартов координатен систем. Лапласовите равенки се битни во многу подрачја на физиката, како електромагнетната теорија, преносот на топлина, динамиката на флуиди и специјалната теорија на релативности.
Во комплексната анализа, хиперболичните функции се јавуваат како имагинарни делови на синус и косинус. Хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус се цели функции. Како резултат, другите хиперболични функции се мероморфни во целата комплексна рамнина.
Според Линдеман-Вајерштрасовата теорема, хиперболичните функции имаат трансцендентна вредност за секоја ненулова алгебарска вредност на аргументот.[4]
Хиперболичните функции биле воведени во 1760-тите, независно од Винченцо Рикати и Јохан Хајнрих Ламберт.[5] Рикати ги користел Sc. и Cc. (sinus/cosinus circulare) за обележување на циркуларните функции и Sh. и Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) за обележување на хиперболичните функции. Ламберт ги прифатил имињата, но ги променил кратенките како што се денес.[6] Кратенките sh, ch, th, cth исто така се во оптек, нивното користење повеќе зависи од личните претпочитувања на влијателните математичари отколку од јазикот.
Постојат различни еквиваленти начини за дефинирање на хиперболичните функции.
Хиперболичен синус: непарниот дел од експоненцијалната функција, кој е
Хиперболичен косинус: парниот дел од експоненцијалната функција, кој е
Хиперболичен тангенс:
Хиперболичен котангенс: for x ≠ 0,
Хиперболичен секанс:
Хиперболичен косеканс: for x ≠ 0,
Дефиниции преку изводи
Хиперболичните функции може да бидат дефинирани како решенија на диференцијални равенки: Хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус се единствени решенија (s, c) на системот
како
s(0) = 0 and c(0) = 1.
Исто така тие се единствено решение на равенката f″(x) = f(x),
како f(0) = 1, f′(0) = 0 за хиперболичниот косинус и f(0) = 0, f′(0) = 1 за хиперболичниот синус.
Може да се покаже дека површината под кривата на хиперболичниот косинус на конечен интервал секогаш е еднаква на должината на соодветниот лак на тој интервал:
[7]
Хиперболичен тангенс
Хиперболичниот тангенс е решение на диференцијалната равенкаf′ = 1 − f2 со f(0) = 0 и нелинеарниотпроблем на гранична вредност:[8][9]
Парни и непарни функции:
Оттука:
Може да се види дека cosh x и sech x се парни; другите се непарни функции.
Хиперболичните синус и косинус ги задоволуваат:
последниот од нив е сличен на Питагоровиот тригонометриски идентитет.
Функцијата sinhx се изразува преку Тејлоров ред само со непарни експоненти на x. Значи таа е непарна функција, па −sinhx=sinh(−x), и sinh0=0.
Функцијата coshx се изразува преку Тејлоров ред само со парни експоненти на x. Значи таа е парна функција, следствено, симетрична во однос на y-оската. Збирот од редовите на sinh и cosh е бесконечен ред од експоненцијалната функција.
Хиперболичните функции претставуваат проширување на тригонометријаата преку циркуларните функции. Обата вида зависат од аргумент, кој е или кружен агол или хиперболичен агол.
Бидејќи површината на кружниот сектор со полупречник r и агол u е r2u/2, истата ќе биде еднаква на u кога r = √2. На дијаграмот таквиот круг е тангента на хиперболата xy = 1 во (1,1). Жолтиот сектор претставува површина и големина на агол. Слично, жолтиот и црвениот сектор заедно претставуваат површина и агол на хиперболичниот сектор.
Краците на два правоаголни триаголници со хипотенуза на правата која ги дефинира аглите се со должина √2 пати од циркуларните и хиперболичните функции.
Хиперболичниот агол е неваријантна мерка во однос на контракцијата (хиперболична ротација), токму како што кружниот агол е непроменлив со ротацијата.[12]
Хиперболичните функции задоволуваат многу идентитети и сите тие се слични по облик со тригонометриските идентитети. Всушност, Осборновото правило[13] тврди дека секој тригонометриски идентитет може да се претвори во хиперболичен идентитет со промена на sine во sinh и cosine во cosh, и со менување на знакот на секој член која содржи производ од 2, 6, 10, 14, ... sinhs. На пример, теоремите за собирање ќе бидат
Забелешка: Ова е еквивалентно на неговиот циркуларен пандан помножен со −1.
Забелешка: Ова е еквивалентно на неговиот циркуларен пандан.
Изводот од sinhx е coshx, а изводот од coshx е sinhx; ова е слично со тригонометриските функции, иако знакот е различен (извод од cosx е −sinx).
Гудермановата функција дава директна врска меѓу тригонометриските и хиперболичните функции кои не содржат комплексни броеви.
Графиконот на функција acosh(x/a) е верижница, кривата образувана од униформен флексибилен синџир кој слободно виси помеѓу две фиксни точки под униформа гравитација.
Разложувањето на експоненцијалната функција на парен и непарен дел ги дава идентитетите
Со оглед дека експоненцијалната функција може да биде дефинирана за кој било комплексен аргумент, дефинициите на хиперболичните функции може да се прошири исто така на комплексните аргументи. Функциите sinhz и coshz тогаш се холоморфни.
Врските со обичните тригонометриски функции се дадени со Ојлеровата формула за комплексни броеви:
па:
Хиперболичните функции се периодични во однос на имагинарната компонента, со период ( за хиперболичен тангенс и котангенс).
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., уред. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN978-0-486-61272-0
Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (1 corr.. изд.). New York: Springer-Verlag. стр.416. ISBN3-540-90694-0.