Hyperbolsk funksjon
From Wikipedia, the free encyclopedia
Hyperbolske funksjoner er matematiske funksjoner av en variabel. De er analoge til de mer vanlige trigonometriske funksjonene som er forbundet med egenskaper til sirkelen. På samme måte er de hyperbolske funksjonene forbundet med egenskaper til hyperbelen. De viktigste av disse funksjonene er sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus) og tanh (tangens hyperbolicus).
De ble først studert av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler noen få år før 1750. Men deres geometriske innhold og matematiske betydning ble klarlagt vel ti år senere av den italienske matematiker Vincenzo Riccati og hans samtidige Johann Heinrich Lambert. Den sistnevte har også gitt funksjonene de navnene som fremdeles brukes. Han kom frem til dem i forbindelse med sine undersøkelser av det som i dag kalles hyperbolsk geometri.
De trigonometriske funksjonene og kan benyttes til å parametrisere en sirkel. I et kartesisk koordinatsystem er denne beskrevet ved ligningen når den har radius . Ved å skrive og hvor vinkelen angir et punkt på sirkelen målt fra aksen, følger den fundamentale sammenhengen
I samme, kartesiske koordinatsystem er en hyperbel beskrevet ved ligningen . De to viktigste, hyperbolske funksjonene kan nå defineres ved parametriseringen og hvor den variable kalles den hyperbolske vinkelen. Den kan identifiseres med arealet som er begrenset av hyperbelen vist i figuren. Innsatt vil disse to funksjonene derfor måtte oppfylle den fundamentale ligningen
I motsetning til de trigonometriske funksjonene, kan disse to hyperbolske funksjonene derfor ta vilkårlige store verdier. Den tredje hyperbolske funksjonen er definert som og tar verdier som alltid ligger mellom og . Likedan kan man definere som kan ta vilkårlige verdier.