Forma różniczkowa
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
-forma różniczkowa, albo krótko: -forma – bardzo głębokie uogólnienie różniczki funkcji postaci Formy różniczkowe można zdefiniować na wiele sposobów np. jako kowariantne antysymetryczne pola tensorowe.
Formy różniczkowe można zdefiniować na zbiorach otwartych w i, ogólniej, na rozmaitościach różniczkowych. Na zbiorze otwartym w dowolną -formę można przedstawić jednoznacznie w postaci
gdzie to pochodna rzutowania na -tą współrzędną względem bazy standardowej w tzn. funkcji danej wzorem
to iloczyn zewnętrzny, a to pewne funkcje rzeczywiste. -formę na rozmaitości można przedstawić w ten sposób lokalnie, tzn. w dziedzinie pewnej mapy w otoczeniu pewnego (dowolnego, ale ustalonego) punktu Wówczas w powyższym wzorze są współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę a oznacza ich odwzorowanie styczne, czyli uogólnienie pochodnej funkcji wektorowej na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami.
Formy różniczkowe odgrywają fundamentalną rolę we współczesnej fizyce, gdyż są jedynymi polami tensorowymi, które można całkować. Wynika to z ich własności transformacyjnych przy zmianie układu współrzędnych dzięki czemu całka z formy różniczkowej nie zależy od wybranego układu współrzędnych. W szczególności rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.
Formy różniczkowe różnią się od pozostałych pól tensorowych także tym, że można zdefiniować ich różniczkowanie bez potrzeby wprowadzania koneksji na rozmaitości. Jest to tzw. pochodna zewnętrzna formy różniczkowej.