Criptografia de curva elíptica
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A Criptografía de Curvas Elípticas, é uma aproximação para a criptografia de chave pública com base na estrutura algébrica de curvas elípticas sobre corpos finitos . A utilização de curvas elípticas em criptografia foi sugerida por Neal Koblitz e Victor S.Miller em 1985. Curvas Elípticas são também utilizadas em várias fatorações de algoritmos inteiros, que têm aplicações em criptografia.
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Criptografia de chave pública é baseada na criação de enigmas matemáticos que são difíceis de resolver sem determinado conhecimento sobre como foram criados. O criador guarda aquele conhecimento secreto (a chave confidencial) e publicam o enigma (a chave pública). O enigma pode então ser usado para confundir uma mensagem de um jeito que somente o criador possa desconfundi-la. Antes, os sistemas de chaves públicas, tais como os algoritmos de RSA, usavam produtos de dois números primos como enigma: o usuário escolhe dois número primos como sua chave confidencial, e publica seu produto como sua chave pública. A dificuldade de fatoração assegura que ninguém mais possa desvendar a chave confidencial (isto é, os dois número primos) da chave pública. Entretanto, devido ao progresso recente em fatorar, chaves públicas de RSA devem agora ter milhares de bits de comprimento para fornecer a segurança adequada.
Uma outra classe do enigma envolve resolver a equação ab = c em b, quando sabemos quem são a e c. Tais equações que envolvem números reais ou complexos são resolvidas facilmente usando logaritmos. Entretanto, em um grande grupo finito, encontrar soluções a tais equações é completamente difícil e é conhecido como o problema de Logaritmo discreto. Uma curva elíptica é uma curva plana definida pela equação:. Pode ser mostrado que o conjunto de pontos em uma curva forma um grupo abeliano (com o ponto infinito como a identidade do elemento).
Se as coordenadas x e y forem escolhidas de um grande campo finito, as soluções darão forma a um Grupo Abeliano finito. O problema com Logaritmo discreto é que em tais grupos de curvas elípticas ele é visto como mais difícil do que o problema correspondente no campo finito subjacente. Assim as chaves na criptografia de curvas elípticas podem ser escolhidas para serem muito mais curtas para um nível comparável da segurança.
Quanto a outros Sistemas Criptográficos de chaves públicas populares, nenhuma prova matemática de dificuldade foi publicada para a Criptografia de Curva Elíptica até à data de 2006. Entretanto, a agência da segurança nacional de Estados Unidos NSA endossou a tecnologia de Criptografia de Curva Elíptica incluindo em seu conjunto de Suite B os algoritmos recomendados. Embora a patente de RSA tenha expirado, há patentes que cobrem alguns aspectos de Criptografia de Curva Elíptica.