Topologia simplética
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A topologia simplética (ou simpléctica) é aquela parte da matemática relacionada ao estudo das variedades simpléticas. Estas variedades se apresentam naturalmente na formulação hamiltoniana da mecânica clássica, que proporciona uma das motivações principais para o tema. Há um modelo local padrão, a saber R2n com ωi,n+i = 1; ωn+i,i = -1; ωj,k = 0 para todo i = 0,...,n-1; j,k=0,...,2n-1 (k ≠ j+n ou j ≠ k+n). Se chama a isto um espaço linear simplético.
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Julho de 2021) |
Uma variedade simplética é um par (M, ω) onde M é uma variedade diferenciável e ω é uma 2-forma fechada, não degenerada em M chamada forma simplética. Aqui, "não degenerada" significa que para cada vetor distinto de zero u no espaço tangente em um ponto, há um vetor v tal que
- ω(u, v) ≠ 0
Os exemplos fundamentais de variedades simpléticas vêm dados pelos fibrados cotangentes de variedades; estes se apresentam na mecânica clássica, onde o conjunto de todas as configurações possíveis de um sistema se modela como variedade, e o fibrado cotangente desta variedade descreve o espaço de fase do sistema. As variedades de Kähler são também variedades simpléticas. Já nos anos 70, os especialistas em simpléticos estavam inseguros de se existiria alguma variedade simplética compacta não kähleriana, mas muitos exemplos se tem construído desde então; em particular, Robert Gompf demonstrou que cada grupo finitamente apresentado aparece como o grupo fundamental de alguma 4-variedade simplética, em contraste marcado com o caso kähleriano.
Diretamente da definição, se pode demontrar que M é de dimensão par 2n e que o ωn é uma forma nula em nenhuma parte, a forma volume. Se segue que uma variedade simplética está canonicamente orientada e vem com uma medida canônica, a medida de Liouville.