Mera (matematika)
From Wikipedia, the free encyclopedia
Méra na množici je v matematični analizi sistematični način prireditve števila vsaki njeni ustrezni podmnožici, ki ga intuitivno tolmačimo kot njeno velikost. V tem smislu je mera posplošitev koncepta dolžine, ploščine in prostornine. Še posebej pomembna je Lebesguova mera na evklidskem prostoru, ki dodeli običajno dolžino, ploščino in prostornino evklidske geometrije ustreznim podmnožicam n-razsežnega evklidskega prostora . Lebesguova mera enotskega intervala [0,1] realnih števil je npr. njegova dolžina v vsakodnevnem smislu besede in je enaka 1, kar zapišemo kot:
Tehnično je mera funkcija (preslikava) , ki (določenim) podmnožicam množice X priredi nenegativno realno število ali +∞. Mera prazne množice mora biti 0, funkcija pa mora biti (števno) aditivna: mera »velike« podmnožice, ki jo lahko razstavimo na končno (ali števno) število 'manjših' nepovezanih podmnožic, je vsota mer »manjših« podmnožic. V splošnem, če želimo povezati združljivo velikost vsaki podmnožici dane množice, da pri tem veljajo drugi aksiomi mere, najdemo le trivialne primere kot je mera štetja. Ta problem so razrešili z definiranjem mere le na podzbirki vseh podmnožic, merljivih podmnožic, ki so nujne za tvorjenje algebre. To pomeni, da so števne unije, števni preseki in komplementi merljivih podmnožic merljivi. Nemerljive množice v evklidskem prostoru, na katerih Lebesguove mere ne moremo dosledno definirati, so gotovo zapletene v smislu, da so hudo pomešane s svojim komplementom. Njihov obstoj je netrivialna posledica aksioma izbire.
Vsaka definicija integrala na primer temelji na ustrezni meri. Riemannov integral temelji na Jordanovi meri, Lebesguov integral pa na Lebesguovi meri. Mere in njihovo uporabo pri integraciji raziskuje teorija mere. Teorijo mere so v zaporednih stopnjah med drugimi razvili Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Johann Radon, Maurice René Fréchet, Constantin Carathéodory, Luitzen Egbertus Jan Brouwer in Andrej Nikolajevič Kolmogorov v poznem 19. in zgodnjem 20. stoletju. Glavne uporabe mer so v osnovah Lebesguovega integrala, v aksiomatizaciji teorije verjetnosti Kolmogorova in ergodični teoriji. V teoriji integralov navedba mere omogoča definicijo integralov na prostorih, ki so splošnejši od podmožic evklidskega prostora. Integral glede na Lebesguovo mero na evklidskih prostorih je poleg tega splošnejši in ima bogatejšo teorijo kot njegov predhodnik, Riemannov integral. Teorija verjetnosti upošteva mere, ki priredijo celotni množici velikost 1, in obravnava merljive množice kot dogodke, katerih verjetnost je dana z mero. V ergodični teoriji so mere invariante dinamičnega sistema ali naravno izhajajo iz njega.