Модуль над кільцем

Модуль над кільцем — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

• векторного простору (це модуль над полем);
• комутативної групи (це модуль над кільцем цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$);
• ідеала кільця (це модуль, що є підкільцем).

Назви ідеал та модуль походять з модульної арифметики, а саме з кратності за модулем.

Ідеалом кільця є його підкільце замкнене відносно множення на елементи кільця. Наприклад: числа кратні ${\displaystyle \ n}$ серед всіх цілих чисел.

Багато результатів для ідеалів є справедливими, якщо прибрати множення, а залишити тільки кратність елементів, тобто, замінити підкільце до незалежну комутативну групу.

Визначення

Коли задано кільце ${\displaystyle \ R}$, то${\displaystyle \ R}$-модулем називається абелева група ${\displaystyle (M,+)}$ з додатковою операцією множення на елементи кільця ${\displaystyle R\times M\to M}$,

що задовільняє умови дистрибутивності та асоціативності ${\displaystyle \forall \;m_{1},m_{2}\in M,\;\;r_{1},r_{2}\in R:}$

1. ${\displaystyle r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2}}$,
2. ${\displaystyle (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m}$,
3. ${\displaystyle (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m)}$,
4. ${\displaystyle 1_{R}\cdot m=m}$.

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

${\displaystyle m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2}}$.

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм

• Підмодулем модуля ${\displaystyle M_{R}}$ називається підгрупа групи ${\displaystyle M}$, замкнута відносно множення на елементи з ${\displaystyle R}$.

• Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою (${\displaystyle R=M}$), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.

• Гомоморфізмом ${\displaystyle R}$-модулів ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ називається гомоморфізм груп ${\displaystyle f\colon A\to B}$, для якого виконується умова ${\displaystyle f(ra)=rf(a)\;\;\forall a\in A,r\in R}$. Множину всіх таких гомоморфізмів позначають ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(A,\ B)}$.

Приклади

• Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел (${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль).
• Лінійний простір над полем ${\displaystyle F}$ є модулем над полем ${\displaystyle F}$.
• Лінійний простір ${\displaystyle V}$ — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень ${\displaystyle L(V)}$.

Історія

Найпростіші ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Див. також

• Бімодуль

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)