椭圆曲线
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在数学上,椭圆曲线(英语:Elliptic curve,缩写为EC)为一平面代数曲线,由如下形式的方程定义
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此条目缺少有关有限域上的椭圆曲线的信息。 (2019年8月11日) |
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且满足其是无奇点的;亦即,其图形没有尖点或自相交。(当系数域(英语:Cohen structure theorem)的特征为2或3时,上面的方程不能涵盖所有非奇异的三次曲线;见下面的#一般域上的椭圆曲线。)
正式地,椭圆曲线是光滑的(英语:Singular point of an algebraic variety)、射影的(英语:Projective variety)、亏格为1的代数曲线,其上有一个特定的点O。椭圆曲线是阿贝尔簇(英语:Abelian variety) – 也就是说,它有代数上定义的乘法,并且对该乘法形成阿贝尔群 – 其中 O即为单位元。
若,其中P为任一没有重根的三次或四次多项式,然后可得到一亏格1的无奇点平面曲线,其通常亦被称为椭圆曲线。更一般化地,一亏格1的代数曲线,如两个三维二次曲面相交,即称为椭圆曲线。
运用椭圆函数理论,可以证明定义在复数上的椭圆曲线对应于环面在复射影平面内的嵌入。环面也是一个阿贝尔群,事实上,这个对应也是一个群同构。
椭圆曲线的形状不是椭圆。命名为椭圆曲线的原因是此曲线原来和椭圆函数有关。在拓扑学上,复数的椭圆曲线是环面,而复数的椭圆会是球面。