牛顿法 - Wikiwand
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牛顿法

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牛顿法(英语:Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法(英语:Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

起源

牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛顿去世后于1736年公开发表)中提出。约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明

蓝线表示方程
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
而红线表示切线。可以看出
  
    
      
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n+1))
  
比
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n))
  
更靠近
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
所要求的根
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
。
蓝线表示方程而红线表示切线。可以看出更靠近所要求的根

首先,选择一个接近函数零点,计算相应的和切线斜率(这里表示函数导数)。然后我们计算穿过点并且斜率为的直线和轴的交点的坐标,也就是求如下方程的解:

我们将新求得的点的坐标命名为,通常会比更接近方程的解。因此我们现在可以利用开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:

已有证明牛顿迭代法的二次收敛[1]必须满足以下条件:
; 对于所有,其中为区间[αr, α + r],且在区间其中内,即 的;
对于所有是连续的;
足够接近根 α

其它例子

第一个例子

求方程的根。令,两边求导,得。由于,则,即,可知方程的根位于之间。我们从开始。

第二个例子

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。

次方根。

而a的m次方根,亦是x的解,

以牛顿法来迭代:

(或

应用

求解最值问题

牛顿法也被用于求函数的极值。由于函数取极值的点处的导数值为零,故可用牛顿法求导函数的零点,其迭代式为

求拐点的公式以此类推

注解

外部链接

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牛顿法
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