希爾伯特轉換
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在數學和訊號處理中,希爾伯特轉換(英語:Hilbert transform)是一個對函數 u(t) 產生定義域相同的函數 H(u)(t) 的線性算子。
希爾伯特轉換在訊號處理中很重要,能夠導出訊號 u(t) 的解析表示。這就意味着將實訊號 u(t) 拓展到複數平面,使其滿足柯西-黎曼方程。 例如,希爾伯特轉換引出了傅利葉分析中給定函數的調和共軛,也就是調和分析。等價地說,它是奇異積分算子與傅利葉乘子(英語:Multiplier (Fourier analysis))的一個例子。
希爾伯特轉換最初只對週期函數(也就是圓上的函數)有定義,在這種情況下它就是與希爾伯特核的摺積。然而更常見的情況下,對於定義在實直線 R(上半平面的邊界)上的函數,希爾伯特轉換是指與柯西核摺積。希爾伯特轉換與帕利-維納定理(英語:Paley–Wiener theorem)有着密切的聯繫,帕利-維納定理是將上半平面內的全純函數與實直線上的函數的傅利葉轉換相聯繫起來的另一種結果。