懸鏈線
常用曲线 / 維基百科,自由的 encyclopedia
懸鏈線(Catenary)是一種常用曲線,物理上用於描繪質量均勻分佈而不可延伸的長鏈懸掛在兩支點間,因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線,因此而得名。
雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線,但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨着吊掛重量的不同,在底端為最小、愈高的地方愈大,如此一來,它所形成的形狀就不是拋物線。
隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推導出數學模型。
它的公式為:
- 或者簡單地表示為
其中cosh是雙曲餘弦函數, 是一個由繩子本身性質和懸掛方式決定的常數,軸為其準線。具體來說,,其中是重力加速度,是線密度(假設繩子密度均勻),而是繩子上每一點處張力的水平分量,它取決於繩子的懸掛方式;若繩子兩端在同一水平面上,則下面的方程決定了
其中L是繩子總長的一半,d是端點距離的一半。