質數定理
數論中的定理 / 維基百科,自由的 encyclopedia
在數論中,質數定理(英語:Prime number theorem)描述質數在自然數中分佈的漸進情況,給出隨着數字的增大,質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦萊布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析,尤其是黎曼ζ函數。
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質數的出現規律一直困惑着數學家。一個個地看,質數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看,質數的個數竟然有規可循。對正實數x,定義π(x)為質數計數函數,亦即不大於x的質數個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。
其中 ln x 為 x 的自然對數。上式的意思是當 x 趨近無限,π(x)與x/ln x的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨着 x 增大而接近。
下面是對π(x)更好的估計:
- ,當x 趨近∞。