分形
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分形(英语:fractal,源自拉丁语:frāctus,有“零碎”、“破裂”之意),又称碎形、残形,通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状”[2],即具有自相似的性质。 分形在数学中是一种抽象的物体,用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状[3]。 分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后,形状的重复是完全相同的,这被称为自相似。自相似的一个例子是门格海绵[4]。 分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的。曼德博集合的放大图像中显示了这种模式[2][5][6][7]。 分形也包有图像的细节重复自身的意味。[2][5][8]
分形与其他几何图形相似但又有所不同。当你缩放一个图形时,你就能看出分形和其他几何图形的区别。将一个多边形的边长加倍,它的面积变为原来的四倍。新的边长与旧边长相比增加了 2 倍,而面积增加了 4 倍,即 倍。平面内的多边形在二维空间中,指数 2 刚好是多边形所在的二维空间的维数。类似的,对于三维空间中的球,如果它的半径加倍,则它的体积变为原来的 8 倍,即 倍,指数 3 依旧是球所在空间的维数。如果将分形的一维长度加倍,如将康托三分集的初始线段长加倍,分型空间的内容[注 1]变为 倍,此时n 不一定是个整数[2]。幂指数n 称为分型的维数,它通常大于分型的拓扑维数[9]。
作为一个数学函数,分形通常是处处不可微的[2][7][10]。无穷分形曲线可以理解为一条一维的曲线在空间中绕行,它的拓扑维数仍然是 1,但大于 1 的分形维数暗示了它也有类似曲面的性质[2][9]。
我们可以从这些年来正式发表的文献中追踪分形概念的发展史。 从 17 世纪有了递归的概念开始,到 19 世纪,伯纳德·波尔查诺、波恩哈德·黎曼和卡尔·魏尔斯特拉斯对连续不可微函数开创性的研究[11],这些严谨的数学概念推动着分形的发展。20 世纪时,人们创造了wikt:分形这个词,随之而来的是人们对分形和计算机建模和兴趣的迅速增长[12][13]。1975 年本华·曼德博首次提出“分形(fractal)”这个术语。分型的拉丁文词源frāctus(英语:wikt:fractus#Latin) 有“破坏”、“破碎”的意思,曼德博将分型的概念从理论分形维数拓展到自然界中的几何图形[2]:405[8]。
一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统[6]。分形有几种类型,可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。权威学者们对分形的精确定义仍有争论。曼德博自己将分形总结为:“美丽、(研究起来)极其困难但又非常的有用,这就是分形”[14]。 1982 年曼德博提出了更正式的定义:“分形是一种其豪斯多夫维数严格大于拓扑维数的集合”[注 2]。 后来他认为这种定义过于严格,于是简化并扩展了这个定义:“分形是由与整体在某些方面相似的部分构成的图形。”[15]。又过了一段时间,曼德博决定使用以下方式来描述分形:“...在研究和使用分形 时,不需要迂腐的定义。用分形维数 作为描述各种不同分型的通用术语”[16]。
通常认为,理论分型是无限迭代、自相似的、具有分形维数的详细数学结构。人们创造了许多分型图形并进行了充分的研究[2][5][6]。 分形并不限于几何图形,它也可以描述时间序列[4][7][17][18][19][20]。 虽然分形是一个数学构造,它们同样可以在自然界中被找到,这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。 在自然[21][22][23][24] [25]、技术[26][27][28][29]、艺术[30][31]、建筑[32]和法律[33]等领域,人们对图形、结构和音频中不同程度自相似的分形图形进行了研究,并反过来利用分形理论取生成图形、结构和音频[34]。分形和混沌理论密切相关,因为混沌过程的图形大多数都是分形[35]。