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双射

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一个双射函数
一个双射函数

数学中,一个由集合映射至集合函数,若对每一在内的,存在唯一一个在内的与其对应,则此函数为双射函数

换句话说,是双射的,如果其为两集合间的一一对应。即,同时为单射满射

例如,由整数集合的函数,其将每一个整数连结至整数,这是一个双射函数;再看一个例子,函数,其将每一对实数连结至,这也是个双射函数。

一双射函数亦简称为双射(英语:bijection)或排列。后者一般较常使用在时。以由的所有双射组成的集合标记为

双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色,如在同构的定义(以及如同胚和微分同构等相关概念)、置换群投影映射及许多其他概念的基本上。

复合函数与反函数

一函数为双射的当且仅当其逆关系也是个函数。在这情况,也会是双射函数。

两个双射函数复合函数亦为双射函数。其反函数为

一个复合所得的双射,左侧为单射,右侧为满射。
一个复合所得的双射,左侧为单射,右侧为满射。

另一方面,若为双射的,可知是单射的且是满射的,但也仅限于此。

一由的关系为双射函数当且仅当存在另一由的关系,使得上的恒等函数,且上的恒等函数。必然地,此两个集合会有相同的

双射与势

有限集合,则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实,在公理集合论里,这正是“相同元素个数”的定义,且广义化至无限集合,并导致了基数的概念,用以分辨无限集合的不同大小。

例子与反例

  • 对任一集合,其恒等函数为双射函数。
  • 函数,其形式为,是双射的,因为对任一,存在一唯一使得
  • 指数函数,其形式为,不是双射的:因为不存在一内的使得,故非为双射。但若其陪域改成正实数,则便是双射的了;其反函数为自然对数函数
  • 函数 : ,其形式为,不是双射的:因为,故非为双射。但如果把定义域也改成,则便是双射的了;其反函数为正平方根函数。
  • 不是双射函数,因为都在其定义域里且都映射至
  • 不是双射函数,因为和2都在其定义域里且都映射至

性质

  • 一由实数的函数是双射的,当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
  • 为一集合,则由至其本身的双射函数,加上其复合函数“”的运算,会形成一个,即为对称群,其标记为
  • 取一定义域的子集及一陪域的子集,则
  • 为具相同有限集合,且,则下列三种说法是等价的:
  1. 为一双射函数。
  2. 为一满射函数。
  3. 为一单射函数。
  • 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如)。

双射与范畴论

形式上,双射函数恰好是集合范畴内的同构

另见

参考文献

  • Wolf. Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 1998. 
  • Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 2003. 
  • Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006. 
  • Schumacher. Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 1996. 
  • O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003. 
  • Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House. 
  • Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002. 
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  • Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan. 
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  • Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 

外部链接

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