哈恩多项式维基百科,自由的 encyclopedia 哈恩多项式(Hahn polynomials)是一个以德国数学家Wolfgang Hahn命名的正交多项式,由下列广义超几何函数定义:[1] 哈恩多项式 Q n ( x ; α , β , N ) = 3 F 2 ( − n , − x , n + α + β + 1 ; α + 1 , − N + 1 ; 1 ) . {\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\ } 前几个哈恩多项式为 h [ 5 ] := 1 + 27 ∗ x / ( − 4 ∗ α − 4 ) + 3 ∗ x ∗ α / ( − 4 ∗ α − 4 ) + 270 ∗ x 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) + 57 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) − 270 ∗ x / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) − 57 ∗ x ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) + 3 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) − 3 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) + 990 ∗ x 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 299 ∗ x 3 ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 2970 ∗ x 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 897 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 30 ∗ x 3 ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 90 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 1980 ∗ x / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 598 ∗ x ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 60 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + x 3 ∗ α 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 3 ∗ x 2 ∗ α 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 2 ∗ x ∗ α 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) {\displaystyle h[5]:=1+27*x/(-4*\alpha -4)+3*x*\alpha /(-4*\alpha -4)+270*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+57*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-270*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-57*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-3*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+990*x^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+299*x^{3}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-2970*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-897*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+1980*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+598*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+60*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+2*x*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))} h [ 6 ] := 1 + 27 ∗ x / ( − 5 ∗ α − 5 ) + 3 ∗ x ∗ α / ( − 5 ∗ α − 5 ) + 270 ∗ x 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) + 57 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) − 270 ∗ x / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) − 57 ∗ x ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) + 3 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) − 3 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) + 990 ∗ x 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 299 ∗ x 3 ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 2970 ∗ x 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 897 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 30 ∗ x 3 ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 90 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 1980 ∗ x / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 598 ∗ x ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 60 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + x 3 ∗ α 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 3 ∗ x 2 ∗ α 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 2 ∗ x ∗ α 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) . {\displaystyle h[6]:=1+27*x/(-5*\alpha -5)+3*x*\alpha /(-5*\alpha -5)+270*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+57*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-270*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-57*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-3*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+990*x^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+299*x^{3}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-2970*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-897*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+1980*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+598*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+60*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+2*x*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9)).}
哈恩多项式(Hahn polynomials)是一个以德国数学家Wolfgang Hahn命名的正交多项式,由下列广义超几何函数定义:[1] 哈恩多项式 Q n ( x ; α , β , N ) = 3 F 2 ( − n , − x , n + α + β + 1 ; α + 1 , − N + 1 ; 1 ) . {\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\ } 前几个哈恩多项式为 h [ 5 ] := 1 + 27 ∗ x / ( − 4 ∗ α − 4 ) + 3 ∗ x ∗ α / ( − 4 ∗ α − 4 ) + 270 ∗ x 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) + 57 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) − 270 ∗ x / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) − 57 ∗ x ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) + 3 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) − 3 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) + 990 ∗ x 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 299 ∗ x 3 ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 2970 ∗ x 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 897 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 30 ∗ x 3 ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 90 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 1980 ∗ x / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 598 ∗ x ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 60 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + x 3 ∗ α 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 3 ∗ x 2 ∗ α 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 2 ∗ x ∗ α 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) {\displaystyle h[5]:=1+27*x/(-4*\alpha -4)+3*x*\alpha /(-4*\alpha -4)+270*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+57*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-270*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-57*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-3*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+990*x^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+299*x^{3}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-2970*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-897*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+1980*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+598*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+60*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+2*x*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))} h [ 6 ] := 1 + 27 ∗ x / ( − 5 ∗ α − 5 ) + 3 ∗ x ∗ α / ( − 5 ∗ α − 5 ) + 270 ∗ x 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) + 57 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) − 270 ∗ x / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) − 57 ∗ x ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) + 3 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) − 3 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) + 990 ∗ x 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 299 ∗ x 3 ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 2970 ∗ x 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 897 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 30 ∗ x 3 ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 90 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 1980 ∗ x / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 598 ∗ x ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 60 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + x 3 ∗ α 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 3 ∗ x 2 ∗ α 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 2 ∗ x ∗ α 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) . {\displaystyle h[6]:=1+27*x/(-5*\alpha -5)+3*x*\alpha /(-5*\alpha -5)+270*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+57*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-270*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-57*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-3*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+990*x^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+299*x^{3}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-2970*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-897*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+1980*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+598*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+60*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+2*x*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9)).}