射影几何
维基百科,自由的 encyclopedia
在数学里,射影几何(英语:projective geometry)研究在射影变换下不变的几何性质。与初等几何不同,射影几何有不同的设定、射影空间及一套基本几何概念。直觉上,在一特定维度上,射影空间比欧氏空间拥有“更多”的点,且允许透过几何变换将这些额外的点(称之为无穷远点)转换成传统的点,反之亦然。
射影几何中有意义的性质均与新的变换概念有关,此一变换比透过变换矩阵或平移(仿射变换)表示的变换更为基础。对几何学家来说,第一个问题是要找到一个足以描述这个新的想法的几何语言。不可能在射影几何内谈论角,如同在欧氏几何内谈论一般,因为角并不是个在射影变换下不变的概念,如在透视图中所清楚看到的一般。射影几何的许多想法来源来自于对透视图的理论研究。另一个与初等几何不同之处在于,平行线可被认为会在无穷远点上交会,一旦此一概念被转换成射影几何的词汇之后。这个概念在直观上,正如同在透视图上会看到铁轨在水平线上交会一般。有关射影几何在二维上的基本说明,请见射影平面。
虽然这些想法很早以前便已存在,但射影几何的发展主要还是到19世纪才开始。大量的研究使得射影几何变成那时几何的代表学科。当使用复数的坐标(齐次坐标)时,即为研究复射影空间(英语:Complex projective space)之理论。一些更抽象的数学(包括不变量理论、代数几何意大利学派,以及菲利克斯·克莱因那导致古典群诞生的爱尔兰根纲领)都建立在射影几何之上。此一学科亦吸引了许多学者,在综合几何(synthetic geometry)的旗帜之下。另一个从射影几何之公理化研究诞生的领域为有限几何。
射影几何的领域又可细分成许多的研究领域,其中的两个例子为射影代数几何(研究射影簇)及射影微分几何(研究射影变换的微分不变量)。