悬链线
常用曲线 / 维基百科,自由的 encyclopedia
悬链线(Catenary)是一种常用曲线,物理上用于描绘质量均匀分布而不可延伸的长链悬挂在两支点间,因均匀引力作用下而形成向下弯曲之曲线,因此而得名。
虽然弯曲的形状看似二次方的抛物线,但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中证明因为绳子的张力会随着吊挂重量的不同,在底端为最小、愈高的地方愈大,如此一来,它所形成的形状就不是抛物线。
随后在1670年胡克根据力学推导出悬链线的数学特性。1691年莱布尼兹、惠更斯、约翰·白努利近一步推导出数学模型。
它的公式为:
- 或者简单地表示为
其中cosh是双曲余弦函数, 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数,轴为其准线。具体来说,,其中是重力加速度,是线密度(假设绳子密度均匀),而是绳子上每一点处张力的水平分量,它取决于绳子的悬挂方式;若绳子两端在同一水平面上,则下面的方程决定了
其中L是绳子总长的一半,d是端点距离的一半。