拉梅函数维基百科,自由的 encyclopedia 拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解:[1][2][3] 雅可比形式 Lame function Maple animation plot d 2 w d z 2 + ( A + v ( v + 1 ) k 2 s n 2 ( z , k ) ) w = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(A+v(v+1)k^{2}sn^{2}(z,k))w=0} + 此拉梅方程的正则奇点在复数平面的 2 p K + ( 2 q + 1 ) ∗ i K ′ {\displaystyle 2pK+(2q+1)*iK'} 其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分,K'代表模数为 k ′ = 1 − k 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} 的完全椭圆积分。 其中 k,v 都是实数,并且 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} , 代数形式 作雅可比椭圆函数变数替换 s = s n 2 ( z , k ) {\displaystyle s=sn^{2}(z,k)} 得拉梅方程的代数形式: d 2 Λ d s 2 + 1 2 ∗ ( 1 2 + 1 s − 1 + 1 s − h ) ∗ d Λ d s − n ( n + 1 ) s + H 4 s ( s − 1 ) ( s − h ) ∗ Λ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\Lambda }{ds^{2}}}+{\frac {1}{2}}*({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{s-h}})*{\frac {d\Lambda }{ds}}-{\frac {n(n+1)s+H}{4s(s-1)(s-h)}}*\Lambda =0} h = k − 2 = a 2 − c 2 a 2 − b 2 {\displaystyle h=k^{-2}={\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}} , H = h A {\displaystyle H=hA} h > 1 {\displaystyle h>1} 此傅克型方程有四个正则奇点 0 , 1 , h , ∞ {\displaystyle 0,1,h,\infty } 魏尔斯特拉斯形式[3] d 2 Λ d z 2 + [ H − n ( n + 1 ) ℘ ( z ) ] Λ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\Lambda }{dz^{2}}}+[H-n(n+1)\wp (z)]\Lambda =0} 其中 ℘ {\displaystyle \wp } 是魏尔斯特拉斯函数 三角函数形式 在雅可比形式的拉梅方程中做代换[4] s n z = c o s ζ {\displaystyle snz=cos\zeta } ζ = 1 2 π − a m z {\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2}}\pi -amz} 可得 [ 1 − ( k c o s ζ ) 2 ] d 2 Λ d Λ 2 {\displaystyle [1-(kcos\zeta )^{2}]{\frac {d^{2}\Lambda }{d\Lambda ^{2}}}} + k 2 c o s ζ sin ζ d Λ d ζ + [ h − n ( n + 1 ) ( k c o s ζ ) 2 ] Λ = 0 {\displaystyle +k^{2}cos\zeta \sin \zeta {\frac {d\Lambda }{d\zeta }}+[h-n(n+1)(kcos\zeta )^{2}]\Lambda =0} 在上列方程组 h , k , n {\displaystyle h,k,n} 等是实数或复数常数,而各变量为复数。
拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解:[1][2][3] 雅可比形式 Lame function Maple animation plot d 2 w d z 2 + ( A + v ( v + 1 ) k 2 s n 2 ( z , k ) ) w = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(A+v(v+1)k^{2}sn^{2}(z,k))w=0} + 此拉梅方程的正则奇点在复数平面的 2 p K + ( 2 q + 1 ) ∗ i K ′ {\displaystyle 2pK+(2q+1)*iK'} 其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分,K'代表模数为 k ′ = 1 − k 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} 的完全椭圆积分。 其中 k,v 都是实数,并且 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} , 代数形式 作雅可比椭圆函数变数替换 s = s n 2 ( z , k ) {\displaystyle s=sn^{2}(z,k)} 得拉梅方程的代数形式: d 2 Λ d s 2 + 1 2 ∗ ( 1 2 + 1 s − 1 + 1 s − h ) ∗ d Λ d s − n ( n + 1 ) s + H 4 s ( s − 1 ) ( s − h ) ∗ Λ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\Lambda }{ds^{2}}}+{\frac {1}{2}}*({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{s-h}})*{\frac {d\Lambda }{ds}}-{\frac {n(n+1)s+H}{4s(s-1)(s-h)}}*\Lambda =0} h = k − 2 = a 2 − c 2 a 2 − b 2 {\displaystyle h=k^{-2}={\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}} , H = h A {\displaystyle H=hA} h > 1 {\displaystyle h>1} 此傅克型方程有四个正则奇点 0 , 1 , h , ∞ {\displaystyle 0,1,h,\infty } 魏尔斯特拉斯形式[3] d 2 Λ d z 2 + [ H − n ( n + 1 ) ℘ ( z ) ] Λ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\Lambda }{dz^{2}}}+[H-n(n+1)\wp (z)]\Lambda =0} 其中 ℘ {\displaystyle \wp } 是魏尔斯特拉斯函数 三角函数形式 在雅可比形式的拉梅方程中做代换[4] s n z = c o s ζ {\displaystyle snz=cos\zeta } ζ = 1 2 π − a m z {\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2}}\pi -amz} 可得 [ 1 − ( k c o s ζ ) 2 ] d 2 Λ d Λ 2 {\displaystyle [1-(kcos\zeta )^{2}]{\frac {d^{2}\Lambda }{d\Lambda ^{2}}}} + k 2 c o s ζ sin ζ d Λ d ζ + [ h − n ( n + 1 ) ( k c o s ζ ) 2 ] Λ = 0 {\displaystyle +k^{2}cos\zeta \sin \zeta {\frac {d\Lambda }{d\zeta }}+[h-n(n+1)(kcos\zeta )^{2}]\Lambda =0} 在上列方程组 h , k , n {\displaystyle h,k,n} 等是实数或复数常数,而各变量为复数。