在数学中,群 (group)是由一种配备二元运算 的集合 ,其二元运算有结合律 、单位元 和逆元素 。因为众多数学结构都是群(如整数系 配备上加法 就形成一个群),所以可从不同的数学结构简洁地归纳出共通的结果,这使群成为当代数学的核心概念。[1] [2]
此条目介绍的是基本概念。关于高階的主题,请见“
群论 ”。
魔方 的所有可能重新排列形成一个群,叫做魔方群 。
Quick Facts 群论, 基本概念 ...
群论
群
无限维群
共形群 微分同胚群
环路群
量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Close
很多自然界的变换(如平移 、镜射 )的汇总都符合群的定义,而某群变换下保持不变的某种性质被称为对称性 ;如在空间对称群 的哪些变换下,面积 或角度 会保持不变,就是在研究立体几何 的对称性。
给定集合
G
{\displaystyle G}
,且它配备的二元运算
∘
:
G
×
G
→
G
{\displaystyle \circ :G\times G\to G}
满足(其中运算结果
∘
(
a
,
b
)
{\displaystyle \circ (a,\,b)}
被简记为
a
∘
b
{\displaystyle a\circ b}
):[19]
结合律
对所有
g
1
,
g
2
,
g
3
∈
G
{\displaystyle g_{1},\,g_{2},\,g_{3}\in G}
有
g
1
∘
(
g
2
∘
g
3
)
=
(
g
1
∘
g
2
)
∘
g
3
{\displaystyle g_{1}\circ (g_{2}\circ g_{3})=(g_{1}\circ g_{2})\circ g_{3}}
左单位元 与左逆元素
存在
e
∈
G
{\displaystyle e\in G}
,对所有
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
有
e
∘
g
=
g
{\displaystyle e\circ g=g}
且存在
γ
∈
G
{\displaystyle \gamma \in G}
使得
γ
∘
g
=
e
{\displaystyle \gamma \circ g=e}
的话,称
(
G
,
∘
)
{\displaystyle (G,\ \circ )}
是一个群 。当其配备的二元运算
∘
{\displaystyle \circ }
不是那么重要时,
(
G
,
∘
)
{\displaystyle (G,\ \circ )}
也常常简记为
G
{\displaystyle G}
。
群运算的次序很重要,也就是说,
a
⋅
b
=
b
⋅
a
{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
(交换律)不一定成立。满足交换律的群称为交换群 (或阿贝尔群 ,以尼尔斯·阿贝尔 命名),不满足交换律的群称为非交换群(非阿贝尔群)。如以下面举例 一节的二面体群 就不是交换群。
上面关于单位元和逆元素的部分也可以改为:
右单位元 与右逆元素
存在
e
∈
G
{\displaystyle e\in G}
,对所有
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
有
g
∘
e
=
g
{\displaystyle g\circ e=g}
且存在
γ
∈
G
{\displaystyle \gamma \in G}
使得
g
∘
γ
=
e
{\displaystyle g\circ \gamma =e}
因为不管原来的淡紫色定义,还是淡黄色的替代性定义,配上结合律 都会等价于以下的定义:
单位元 与逆元素
存在
e
∈
G
{\displaystyle e\in G}
,对所有
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
有
e
∘
g
=
g
∘
e
=
g
{\displaystyle e\circ g=g\circ e=g}
且存在
γ
∈
G
{\displaystyle \gamma \in G}
使得
γ
∘
g
=
g
∘
γ
=
e
{\displaystyle \gamma \circ g=g\circ \gamma =e}
以下是证明:
若二元运算
∘
:
G
×
G
→
G
{\displaystyle \circ :G\times G\to G}
满足结合律,且
e
l
∈
G
{\displaystyle e_{l}\in G}
对任意
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
有
“
e
l
∘
g
=
g
{\displaystyle e_{l}\circ g=g}
”(left-1)
“存在某
γ
l
∈
G
{\displaystyle \gamma _{l}\in G}
使
γ
l
∘
g
=
e
l
{\displaystyle \gamma _{l}\circ g=e_{l}}
”(left-2)
因为
∘
{\displaystyle \circ }
是二元运算 ,
g
∘
γ
∈
G
{\displaystyle g\circ \gamma \in G}
。所以根据(left-2),存在
Γ
∈
G
{\displaystyle \Gamma \in G}
满足
Γ
∘
(
g
∘
γ
l
)
=
e
l
{\displaystyle \Gamma \circ (g\circ \gamma _{l})=e_{l}}
这样根据结合律和(left-1)与(left-2)有
e
l
=
Γ
∘
(
g
∘
γ
l
)
=
Γ
∘
[
g
∘
(
e
l
∘
γ
l
)
]
=
Γ
∘
{
g
∘
[
(
γ
l
∘
g
)
∘
γ
l
]
}
=
Γ
∘
{
g
∘
[
γ
l
∘
(
g
∘
γ
l
)
]
}
=
Γ
∘
[
(
g
∘
γ
l
)
∘
(
g
∘
γ
l
)
]
=
[
Γ
∘
(
g
∘
γ
l
)
]
∘
(
g
∘
γ
l
)
=
e
∘
(
g
∘
γ
l
)
=
g
∘
γ
l
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{l}&=\Gamma \circ (g\circ \gamma _{l})\\&=\Gamma \circ [\,g\circ (e_{l}\circ \gamma _{l})\,]\\&=\Gamma \circ \{\,g\circ [\,(\gamma _{l}\circ g)\circ \gamma _{l}\,]\,\}\\&=\Gamma \circ \{\,g\circ [\,\gamma _{l}\circ (g\circ \gamma _{l})\,]\,\}\\&=\Gamma \circ [\,(g\circ \gamma _{l})\circ (g\circ \gamma _{l})\,]\\&=[\,\Gamma \circ (g\circ \gamma _{l})\,]\circ (g\circ \gamma _{l})\\&=e\circ (g\circ \gamma _{l})\\&=g\circ \gamma _{l}\end{aligned}}}
所以左逆元必为右逆元 ,这样根据结合律有
g
∘
e
l
=
g
∘
(
γ
l
∘
g
)
=
(
g
∘
γ
l
)
∘
g
=
e
l
∘
g
{\displaystyle {\begin{aligned}g\circ e_{l}&=g\circ (\gamma _{l}\circ g)\\&=(g\circ \gamma _{l})\circ g\\&=e_{l}\circ g\end{aligned}}}
所以左单位元必为右单位元 。
类似地,若二元运算
∘
:
G
×
G
→
G
{\displaystyle \circ :G\times G\to G}
满足结合律,且
e
r
∈
G
{\displaystyle e_{r}\in G}
对所有
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
有
“
g
∘
e
r
=
g
{\displaystyle g\circ e_{r}=g}
”(right-1)
“存在某
γ
r
∈
G
{\displaystyle \gamma _{r}\in G}
,使
g
∘
γ
r
=
e
r
{\displaystyle g\circ \gamma _{r}=e_{r}}
”(right-2)
因为
γ
r
∘
g
∈
G
{\displaystyle \gamma _{r}\circ g\in G}
,所以根据(right-2)存在
Γ
¯
∈
G
{\displaystyle {\overline {\Gamma }}\in G}
满足
(
γ
r
∘
g
)
∘
Γ
¯
=
e
r
{\displaystyle (\gamma _{r}\circ g)\circ {\overline {\Gamma }}=e_{r}}
所以根据结合律、(right-1)和(right-2)有
e
r
=
(
γ
r
∘
g
)
∘
Γ
¯
=
[
(
γ
r
∘
e
r
)
∘
g
]
∘
Γ
¯
=
{
[
γ
r
∘
(
g
∘
γ
r
)
]
∘
g
}
∘
Γ
¯
=
{
[
(
γ
r
∘
g
)
∘
γ
r
]
∘
g
}
∘
Γ
¯
=
[
(
γ
r
∘
g
)
∘
(
γ
r
∘
g
)
]
∘
Γ
¯
=
(
γ
r
∘
g
)
∘
[
(
γ
r
∘
g
)
∘
Γ
¯
]
=
(
γ
r
∘
g
)
∘
e
r
=
γ
r
∘
g
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{r}&=(\gamma _{r}\circ g)\circ {\overline {\Gamma }}\\&=[\,(\gamma _{r}\circ e_{r})\circ g\,]\circ {\overline {\Gamma }}\\&=\{\,[\,\gamma _{r}\circ (g\circ \gamma _{r})\,]\circ g\,\}\circ {\overline {\Gamma }}\\&=\{\,[\,(\gamma _{r}\circ g)\circ \gamma _{r}\,]\circ g\,\}\circ {\overline {\Gamma }}\\&=[\,(\gamma _{r}\circ g)\circ (\gamma _{r}\circ g)\,]\circ {\overline {\Gamma }}\\&=(\gamma _{r}\circ g)\circ [\,(\gamma _{r}\circ g)\circ {\overline {\Gamma }}\,]\\&=(\gamma _{r}\circ g)\circ e_{r}\\&=\gamma _{r}\circ g\end{aligned}}}
所以右逆元也为左逆元 。这样根据结合律有
e
r
∘
g
=
(
g
∘
γ
r
)
∘
g
=
g
∘
(
γ
r
∘
g
)
=
g
∘
e
r
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{r}\circ g&=(g\circ \gamma _{r})\circ g\\&=g\circ (\gamma _{r}\circ g)\\&=g\circ e_{r}\end{aligned}}}
所以右单位元必为左单位元 。
再考虑到淡蓝色是要求
e
∈
G
{\displaystyle e\in G}
同时为左右单位元且存在左右逆元,这样就证明以上三种定义在有结合律的前提下等价。
整数系
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
是由所有整数所组成:
..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...[20]
可以看出,整数系和整数的加法是可以构成群的:
对于任何两个整数a 和b ,它们的和a + b 也是整数,所以整数加法的确是个二元运算 。
对于任何整数a , b 和c ,(a + b ) + c = a +(b + c )。也就是说,先把a 加到b ,然后把它们的和加到c ,所得到的结果与把a 加到b 与c 的和是相等的。
如果a 是任何整数,那么0 + a = a + 0 = a 。所以 0 是整数加法的单位元,而且对所有a 都存在另一个整数-a,使的a + (-a) = -a + a = 0。
实数 集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。
A1: 任何两个 R# 的元素相乘产生 R# 的另一个元素。
A2: (a *b )*c = a *(b *c )。
A3: a *1 = a 。因此 1 指示单位元。
A4: a -1 *a = 1。因此 a -1 指示逆元。
以下是正方形的8个旋转 和翻转:
id (保持原样)
r1 (向右旋转90°)
r2 (向右旋转180°)
r3 (向右旋转270°)
fv (垂直翻转)
fh (水平翻转)
fd (对角翻转)
fc (反对角翻转)
注意颜色不同,“操作结果”才不同。数字只是去方便理解“操作过程”,数字有没有颠倒不影响“操作结果”。
如果
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是上述8个“操作”的其中一个,“操作的复合”
a
∘
b
{\displaystyle a\circ b}
定义为先对正方形操作
a
{\displaystyle a}
之后再操作
b
{\displaystyle b}
。比如说,右旋270° (
r
3
{\displaystyle r_{3}}
) 然后水平翻转(
f
h
{\displaystyle f_{h}}
),等同于沿对角线的反射(
f
d
{\displaystyle f_{d}}
),这样就可以表示为
r
3
∘
f
h
=
f
d
{\displaystyle r_{3}\circ f_{h}=f_{d}}
。
下面的群表 列出了这种“操作的复合”的所有可能结果。
More information ...
∘
{\displaystyle \circ }
先操作
id
r1
r2
r3
fv
fh
fd
fc
后操作
id
id
r1
r2
r3
fv
fh
fd
fc
r1
r1
r2
r3
id
fc
fd
fv
fh
r2
r2
r3
id
r1
fh
fv
fc
fd
r3
r3
id
r1
r2
fd
fc
fh
fv
fv
fv
fd
fh
fc
id
r2
r1
r3
fh
fh
fc
fv
fd
r2
id
r3
r1
fd
fd
fh
fc
fv
r3
r1
id
r2
fc
fc
fv
fd
fh
r1
r3
r2
id
Close
如果取
D
4
=
{
i
d
,
r
1
,
r
2
,
r
3
,
f
v
,
f
h
,
f
d
,
f
c
}
{\displaystyle D_{4}=\left\{id,\,\,r_{1},\,r_{2},\,r_{3},\,f_{v},\,f_{h},\,f_{d},\,f_{c}\right\}}
那么根据以上的群表,
∘
:
D
4
×
D
4
→
D
4
{\displaystyle \circ :D_{4}\times D_{4}\to D_{4}}
的确是个二元运算 ,而且
(
D
4
,
∘
)
{\displaystyle (D_{4},\,\circ )}
为群(其中
i
d
{\displaystyle id}
符合单位元的要求),它被称为二面体群 。注意到上表淡紫色的部分破坏了交换律,所以二面体群不是交换群 。