肯普纳级数
不含數字9的正整數倒數和,是收斂級數 / 维基百科,自由的 encyclopedia
肯普纳级数(英语:Kempner series)是十进制写法不含数字9的正整数的倒数和。用符号可写成
其中“缺9”意思是“十进制表示中,不含数字9”,下同。奥伯利·肯普纳(英语:Aubrey J. Kempner)于1914年最早研究该级数。[1]肯普纳级数是由调和级数删走含数字9的项所得,但肯普纳级数收敛,调和级数则发散。肯普纳证明,级数之和小于90。罗伯特·贝利[2]证明,级数准确到小数点后20位的值为22.92067661926415034816(OEIS数列A082838)。
直观理解,级数收敛是因为大部分“大数”都有齐0至9的全部数字。例如,均匀随机选一个100位的正整数,很易包含至少一个数字9,于是级数不计该数的倒数。
施梅尔策与贝利[3]找到高效算法,给定任意数字串为输入,计算缺该串的正整数倒数和。此问题推广了原本的级数求值问题。举例,考虑所有缺数字串“42”的正整数,其倒数和约为228.44630415923081325415。又举例,缺数字串“314159”的正整数倒数和约为2302582.33386378260789202376。(上述数值皆四舍五入至末位。)