连续统假设
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连续统假设(英语:Continuum hypothesis,简称CH)是数学中一个猜想,也是希尔伯特的23个问题的第一题,由康托尔提出,关于无穷集的可能大小。其为:
康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小,也证明了整数集的基数绝对小于实集的基数。康托尔也就给出了连续统假设,就是说,在无限集中,比自然数集基数大的集合中,基数最小的集合是实数集。而连续统就是实数集的一个旧称。
更加形式地说,自然数集的基数为(读作“阿列夫零”)。而连续统假设的观点认为实数集的基数为(读作“阿列夫壹”)。于是,康托尔定义了绝对无限。
等价地,整数集的基数是而实数的基数是,连续统假设指出不存在一个集合使得
假设选择公理是对的,那就会有一个最小的基数大于,而连续统假设也就等价于以下的等式:
连续统假设有个更广义的形式,叫作广义连续统假设(GCH),其命题为:
对于所有的序数,
库尔特·哥德尔在1940年用内模型法证明了连续统假设与ZFC的相对协调性(无法以ZFC证明为误),保罗·柯恩在1963年用力迫法证明了连续统假设不能由ZFC推导。也就是说连续统假设独立(英语:Independence (mathematical logic))于ZFC。