非线性系统
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在物理科学中,如果描述某个系统的方程其输入(自变数)与输出(应变数)不成正比,则称为非线性系统。由于自然界中大部分的系统本质上都是非线性的,因此许多工程师、物理学家、数学家和其他科学家对于非线性问题的研究都极感兴趣。非线性系统和线性系统最大的差别在于,非线性系统可能会导致混沌、不可预测,或是不直观的结果。
一般来说,非线性系统的行为可以用一组非线性联立方程来描述。非线性方程里含有由未知数构成的非线性函数;换句话说,一个非线性方程并不能写成其未知数的线性组合。非线性微分方程,则是指方程里含有未知函数及其导函数的乘幂不等于一的项。在判定一个方程是线性或非线性时,只需考虑未知数(或未知函数)的部分,不需要检查方程中是否有已知的非线性项。例如在微分方程中,若所有的未知函数、未知导函数皆为一次,即使出现由某个已知变数所构成的非线性函数,仍称它是线性微分方程。
由于非线性方程非常难解,因此常常需要以线性方程来近似一个非线性系统(线性近似)。这种近似对某范围内的输入值(自变数)是很准确的,但线性近似之后反而会无法解释许多有趣的现象,例如孤波、混沌[1]和奇点。这些奇特的现象,也常常让非线性系统的行为看起来违反直觉、不可预测,或甚至混沌。虽然“混沌的行为”和“随机的行为”感觉很相似,但两者绝对不能混为一谈;也就是说,一个混沌系统的行为绝对不是随机的。
举例来说,许多天气系统就是混沌的,微小的扰动即可导致整个系统产生各种不同的复杂结果。就目前的科技而言,这种天气的非线性特性即成了长期天气预报的绊脚石。
某些书的作者以非线性科学来代指非线性系统的研究,但也有人不以为然:
“在科学领域里使用‘非线性科学’这个词,就如同把动物学里大部分的研究对象称作‘非大象动物’一样可笑。”