黎曼曲率张量维基百科,自由的 encyclopedia 在微分几何中,黎曼曲率张量或黎曼张量是表达黎曼流形的曲率的标准方式,更普遍的,它可以表示有仿射联络的流形的曲率 ,包括无扭率或有挠率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的,一个仿射联络) ∇ {\displaystyle \nabla } (或者叫协变导数)由下式给出: R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w − ∇ [ u , v ] w . {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.} 这里 R ( u , v ) {\displaystyle R(u,v)} 是一个流形切空间的线性变换;它对于每个参数都是线性的。 注意有些作者用相反的符号定义曲率. 如果 u = ∂ / ∂ x i {\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}} 与 v = ∂ / ∂ x j {\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}} 是坐标向量场则 [ u , v ] = 0 {\displaystyle [u,v]=0} 所以公式简化为 R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w} 也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。 线性变换 w ↦ R ( u , v ) w {\displaystyle w\mapsto R(u,v)w} 也称曲率变换。
在微分几何中,黎曼曲率张量或黎曼张量是表达黎曼流形的曲率的标准方式,更普遍的,它可以表示有仿射联络的流形的曲率 ,包括无扭率或有挠率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的,一个仿射联络) ∇ {\displaystyle \nabla } (或者叫协变导数)由下式给出: R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w − ∇ [ u , v ] w . {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.} 这里 R ( u , v ) {\displaystyle R(u,v)} 是一个流形切空间的线性变换;它对于每个参数都是线性的。 注意有些作者用相反的符号定义曲率. 如果 u = ∂ / ∂ x i {\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}} 与 v = ∂ / ∂ x j {\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}} 是坐标向量场则 [ u , v ] = 0 {\displaystyle [u,v]=0} 所以公式简化为 R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w} 也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。 线性变换 w ↦ R ( u , v ) w {\displaystyle w\mapsto R(u,v)w} 也称曲率变换。