费希尔-柯尔莫哥洛夫方程 是以英国统计学家罗纳德·费希尔 和俄国数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫 命名的非线性偏微分方程 ,常见于热传导 、燃烧 理论、生物学 、生态学 等领域。某些文献[1] [2] 中又称费希尔-柯尔莫哥洛夫方程为柯尔莫哥洛夫-彼得罗夫斯基 -皮斯库诺夫方程 (Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov equation),或KPP方程 ,费希尔-KPP方程 。费希尔-柯尔莫哥洛夫方程是费希尔方程 的推广形式。费希尔-柯尔莫哥洛夫方程的基本形式为[注 1] :
∂
u
∂
t
=
D
∂
2
u
∂
x
2
+
a
u
+
b
u
m
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+au+bu^{m}}
费希尔-KPP方程的数值模拟。
其中,a、b、D、m为任意常数,且m不等于1。[3] [4]
通过重新定义时间的尺度,可以不失一般性 地令参数 D 等于1,因此一些文章中直接将形如
u
t
−
u
x
x
+
μ
u
+
ν
u
2
+
δ
u
3
=
0
{\displaystyle u_{t}-u_{xx}+\mu u+\nu u^{2}+\delta u^{3}=0}
称为KPP方程[1] [2] 。其他形似KPP方程的,例如
∂
u
/
∂
t
=
D
2
∂
2
u
/
∂
x
2
+
f
(
u
)
{\displaystyle {\partial u}/{\partial t}={\frac {D}{2}}{\partial ^{2}u}/{\partial x^{2}}+f(u)}
[5] 和
u
t
+
(
−
Δ
)
α
u
=
μ
(
x
)
u
−
u
2
{\displaystyle u_{t}+(-\Delta )^{\alpha }u=\mu (x)u-u^{2}}
[6] 被称作“KPP型方程(KPP type equation)”或“费希尔-KPP型方程(Fisher-KPP type equation)”。