擴散方程維基百科,自由的 encyclopedia 擴散方程是一類偏微分方程,用來描述擴散現象中的物質密度的變化。通常也用來和擴散類似的現象,例如在群體遺傳學中等位基因在群體中的擴散。 擴散方程通常寫作: ∂ ϕ ( r → , t ) ∂ t = ∇ ⋅ ( D ( ϕ , r → ) ∇ ϕ ( r → , t ) ) , {\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigg (}D(\phi ,{\vec {r}})\,\nabla \phi ({\vec {r}},t){\bigg )},} 其中 ϕ ( r → , t ) {\displaystyle \,\phi ({\vec {r}},t)} 是擴散中的物質在 t {\displaystyle t} 時刻,位於 r → {\displaystyle {\vec {r}}} 處的密度; D ( ϕ , r → ) {\displaystyle \,D(\phi ,{\vec {r}})} 是密度 ϕ {\displaystyle \phi } 在 r → {\displaystyle {\vec {r}}} 處的擴散係數。 如果擴散係數依賴於密度那麼方程是非線性的,否則是線性的。如果 D {\displaystyle \,D} 是常數,那麼方程退化為下面的線性方程(熱傳導方程): ∂ ϕ ( r → , t ) ∂ t = D ∇ 2 ϕ ( r → , t ) , {\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t),} 更一般的,當D是對稱正定矩陣時,方程描述的是各向異性擴散。此時方程的三維形式是: ∂ ϕ ( r → , t ) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i ( D i j ( ϕ , r → ) ∂ ϕ ( r → , t ) ∂ x j ) {\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(D_{ij}(\phi ,{\vec {r}}){\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial x_{j}}}\right)}
擴散方程是一類偏微分方程,用來描述擴散現象中的物質密度的變化。通常也用來和擴散類似的現象,例如在群體遺傳學中等位基因在群體中的擴散。 擴散方程通常寫作: ∂ ϕ ( r → , t ) ∂ t = ∇ ⋅ ( D ( ϕ , r → ) ∇ ϕ ( r → , t ) ) , {\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigg (}D(\phi ,{\vec {r}})\,\nabla \phi ({\vec {r}},t){\bigg )},} 其中 ϕ ( r → , t ) {\displaystyle \,\phi ({\vec {r}},t)} 是擴散中的物質在 t {\displaystyle t} 時刻,位於 r → {\displaystyle {\vec {r}}} 處的密度; D ( ϕ , r → ) {\displaystyle \,D(\phi ,{\vec {r}})} 是密度 ϕ {\displaystyle \phi } 在 r → {\displaystyle {\vec {r}}} 處的擴散係數。 如果擴散係數依賴於密度那麼方程是非線性的,否則是線性的。如果 D {\displaystyle \,D} 是常數,那麼方程退化為下面的線性方程(熱傳導方程): ∂ ϕ ( r → , t ) ∂ t = D ∇ 2 ϕ ( r → , t ) , {\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t),} 更一般的,當D是對稱正定矩陣時,方程描述的是各向異性擴散。此時方程的三維形式是: ∂ ϕ ( r → , t ) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i ( D i j ( ϕ , r → ) ∂ ϕ ( r → , t ) ∂ x j ) {\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(D_{ij}(\phi ,{\vec {r}}){\frac {\partial \phi ({\vec {r}},t)}{\partial x_{j}}}\right)}