谷山-志村定理
維基百科,自由的 encyclopedia
谷山-志村定理(英語:Taniyama-Shimura theorem)建立橢圓曲線(代數幾何的物件)和模形式(數論中用到的某種週期性全純函數)之間的重要聯繫。
此條目已列出參考文獻,但因為沒有文內引註而使來源仍然不明。 (2018年1月29日) |
定理的證明由英國數學家安德魯·懷爾斯(Andrew John Wiles)、理查·泰勒(Richard Taylor)、法國數學家克里斯多福·布勒伊(英語:Christophe Breuil)、美國數學家布萊恩·康萊德(英語:Brian Conrad)和佛瑞德·戴蒙德(英語:Fred Diamond)所完成。
若p是一個質數而E是一個Q(有理數域)上的一個橢圓曲線,我們可以簡化定義E的方程式模p;除了有限個p值,會得到有np個元素的有限體Fp上的一個橢圓曲線。然後考慮如下序列
- ap = np − p,
這是橢圓曲線E的重要的不變量。從傅立葉轉換,每個模形式也會產生一個數列。一個其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做模的。谷山-志村定理說:
- 「所有Q上的橢圓曲線是模的。」
通俗而言,橢圓方程式與模形式是一一對應的,每個橢圓方程式都可以用模形式表達出來,而費馬大定理和谷山-志村猜想是共存關係。如果費馬大定理成立則谷山-志村猜想也成立,反之亦然。