User talk:Dz902/沙盒/数学归纳法
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数学归纳法是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立。除了自然数以外,广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构,例如:集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域,称作结构归纳法。
需要留意的是,数学归纳法虽然名字中有“归纳”,但是实际上数学归纳法并不属于不严谨的归纳推理法,实际上是属于完全严谨的演绎推理法。
定义
最简单和常见的数学归纳法是证明当 n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步:
- 证明当 n = 0 时命题成立。
- 证明如果在 n = m 时命题成立,那么可以推导出在 n = m+1 时命题也成立。(m 代表任意自然数)
这种方法的原理在于:首先证明在某个起点值时命题成立,然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明,那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如:你有一列很长的直立着的多米诺骨牌,如果你可以:
- 证明第一张骨牌会倒。
- 证明只要任意一张骨牌倒了,那么与其相临的下一张骨牌也会倒。
那么便可以下结论:所有的骨牌都会倒。
例子
假设我们要证明下面这个公式(命题):
其中 n 为任意自然数。这是用于计算前 n 个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。