Boolse algebra

Boolse Algebra, vernoem na George Boole (1815-1864), is 'n wiskundige model vir die bewerking van kombinasies van digitale eenhede. 'n Digitale eenheid het een van twee toestande: HOOG of LAAG. Dit word dikwels aangedui met 'n 1 of 0.

Hierdie boolse algebra kom baie handig te pas by die ontwikkeling van rekenaar en ander digitale elektroniese sisteme soos kombinasielogika en sekwensiële logika. Boolse algebra word ook soms skakelalgebra genoem wanneer dit gebruik word in die analise van digitale stroombane.

Bewerkings

Die verskillende boolse algebra bewerkings, 'n voorbeeldvergelyking vir elk en die betekenis van elke bewerking word hieronder in Tabel 1 gegee. In elke voorbeeldvergelyking is F die uitset en A en B die twee insette.

Tabel 1. Boolse algebra bewerkings

Bewerking	Voorbeeld	Betekenis
NIE	${\displaystyle F=A'}$ ${\displaystyle F={\bar {A}}}$	Die uitset is die teenoorgestelde van die inset. As A 1 is, is F 0 en andersom.
EN	${\displaystyle F=A\cdot B}$ ${\displaystyle F=AB}$	Die uitset is slegs 1 wanneer beide die insette 1 is. F is 1 indien A EN B albei 1 is.
NEN (NIE EN)	${\displaystyle F=(A\cdot B)'}$	Die uitset is slegs 1 wanneer beide die insette 0 is. F is 1 indien A EN B albei NIE 1 is.
OF	${\displaystyle F=A+B}$	Die uiset is 1 wanneer enige van die insette 1 is. F is 1 wanneer A OF B 1 is.
NOF (NIE OF)	${\displaystyle F=(A+B)'}$	Die uiset is 1 wanneer enige van die insette 0 is. F is 1 wanneer A OF B NIE 1 is.
XOR	${\displaystyle F=A\oplus B}$	Die bewerking is 'n eksklusiewe-of (Exclusive-or in engels). Die uitset is 1 slegs wanneer die twee insette verskillend is. Die bewerking wat uitgevoer word is ${\displaystyle F=AB'+A'B}$
XNOR (NIE XOR)	${\displaystyle F=(A\oplus B)'}$	Dit is die omgekeerde van XOR. Die uitset is slegs 1 wanneer die twee insette verskillend is. Die bewerking is dus ${\displaystyle F=(AB'+A'B)'}$

Enige boolse funksie kan in terme van die bogenoemde bewerkings uitgedruk word, vir enige hoeveelheid insette en bewerkings.

Waarheidstabel

'n Waarheidstabel is 'n voorstelling van 'n boolse funksie waar die uitset gegee word vir alle kombinasies van die insette. 'n Waarheidstabel vir twee insette A en B word hieronder gegee vir al die bogenoemde funksies.

Tabel 2. Waarheidstabel

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A'}$	${\displaystyle A\cdot B}$	${\displaystyle (A\cdot B)'}$	${\displaystyle A+B}$	${\displaystyle (A+B)'}$	${\displaystyle A\oplus B}$	${\displaystyle (A\oplus B)'}$
0	0	1	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	0
1	0	0	0	1	1	0	1	0
1	1	0	1	0	1	0	0	1

Aksiomas

Die aksiomas (of postulate) van 'n wiskundige stelsel is die minimum stel van basiese definisies wat as waar beskou word vanwaar alle ander inligting oor die stelsel afgelei kan word. Die aksiomas van Boolse algebra (skakelalgebra) word in Tabel 3 gegee.

Tabel 3. Aksiomas

${\displaystyle X=0\quad as\quad X\neq 1}$	${\displaystyle X=1\quad as\quad X\neq 0}$
${\displaystyle As\ X=0,\quad dan\ is\quad X'=1}$	${\displaystyle As\ X=1,\quad dan\ is\quad X'=0}$
${\displaystyle 0\cdot 0=0}$	${\displaystyle 1+1=1}$
${\displaystyle 1\cdot 1=1}$	${\displaystyle 0+0=0}$
${\displaystyle 0\cdot 1=1\cdot 0=0}$	${\displaystyle 1+0=0+1=1}$

Teoremas

Boolse algebra teoremas is stellings wat altyd waar is, wat gebruik kan word om uitdrukkings te manipuleer of om dit te vereenvoudig. Teoremas vir een- en twee veranderlikes en hul name word in Tabel 4 hieronder gegee.

Tabel 4. Teoremas

Een veranderlike
${\displaystyle X+0=X}$	${\displaystyle X\cdot 1=X}$	Identiteite
${\displaystyle X+1=1}$	${\displaystyle X\cdot 0=0}$	Nul elemente
${\displaystyle X+X=X}$	${\displaystyle X\cdot X=X}$	Idempotensie
${\displaystyle (X')'=X}$		Involusie
${\displaystyle X+X'=1}$	${\displaystyle X\cdot X'=0}$	Komplemente
Twee of drie veranderlikes
${\displaystyle X+Y=Y+X}$	${\displaystyle X\cdot Y=Y\cdot X}$	Kommutatiwiteit
${\displaystyle (X+Y)+Z=X+(Y+Z)}$	${\displaystyle (X\cdot Y)\cdot Z=X\cdot (Y\cdot Z)}$	Assosiatiwiteit
${\displaystyle X\cdot Y+X\cdot Z=X\cdot (Y+Z)}$	${\displaystyle (X+Y)\cdot (X+Z)=X+Y\cdot Z}$	Distributiwiteit
${\displaystyle X+X\cdot Y=X}$	${\displaystyle X\cdot (X+Y)=X}$	Dekking
${\displaystyle X\cdot Y+X\cdot Y'=X}$	${\displaystyle (X+Y)\cdot (X+Y')=X}$	Kombinering
${\displaystyle X\cdot Y+X'\cdot Z+Y\cdot Z=X\cdot Y+X'\cdot Z}$	${\displaystyle (X+Y)\cdot (X'+Z)\cdot (Y+Z)=(X+Y)\cdot (X'+Z)}$	Konsensus

Nog 'n belangrike teorema is DeMorgan se teorema. Vir twee veranderlikes, X en Y, kan dit soos volg beskryf word:

${\displaystyle As\quad F=X\cdot Y\quad dan\ is\quad F'=(X\cdot Y)'=X'+Y'}$, of

${\displaystyle As\quad F=X+Y\quad dan\ is\quad F'=(X+Y)'=X'\cdot Y'}$

Hierdie reël kan uitgebrei word vir uitdrukkings met baie veranderlikes.