Loading AI tools
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الرياضيات والمنطق، حساب القضايا (بالإنجليزية: propositional calculus) هو نظام تُمثِّل القضايا بربط قضايا ذرية بواسطة روابط منطقية، إضافة إلى نظام للاستدلال والبرهان تُبرهَن به نظريات منطقية.[1][2][3]
يشير التركيب إلى جملة الرموز والتراكيب التي تُبنى بها القضية المنطقية، بالإضافة إلى مجموعة القواعد التي تحكم تسلسل وسلامة تركيب هذه الرموز. يشار إلى الرموز على أنها ذرية لأنها أساس بناء القضايا. مجموعة الرموز تسمى أيضا أبجدية النظام. تحتوي هذه الأبجدية على الرموز الآتية:
تربط الروابط المنطقية بين مختلف الرموز المنطقية، كما يمكن الفصل بين القضايا المركبة باستعمال الأقواس لإيضاح أو تغيير المعنى.
القضايا ذات التركيب الصحيح هي قضايا مركّبة بطريقة موافقة لقواعد التركيب. كل القضايا السابقة هي قضايا ذات تركيب صحيح، لكن القضايا التالية لها تركيب خاطئ ولذا لا يمكن استعمالها في حساب القضايا والبرهنة:
بالمعاني (semantics) يلصق حساب القضايا معان للتراكيب المختلفة. في حساب القضايا كل قضية تشير إلى جملة تكون صحيحة أو خاطئة. فمثلا لنفرض القضايا التالية:
تكون إذن القضية ¬ س قضية صحيحة، فقد ألصقنا معنى لهذه القضية بناء على معنى القضية س الخاطئة ومعنى رابط النفي ¬.
و أيضا القضية ص ∧ ع هي قضية صحيحة، بناء على معنى القضيتين ورابط الوصل.
بناء على كل جداول الحقيقة الممكنة بين قضيتين يمكن تركيب 16 رابطا منطقيا ممكنا، وهي كلها موضحة في الجدول التالي: بناء على كل جداول الحقيقة الممكنة بين قضيتين يمكن تركيب 16 رابطا منطقيا ممكنا، وهي كلها موضحة في الجدول التالي:
س | ع | رابط 1 | رابط 2 | رابط 3 | رابط 4 | رابط 5 | رابط 6 | رابط 7 | رابط 8 | رابط 9 | رابط 10 | رابط 11 | رابط 12 | رابط 13 | رابط 14 | رابط 15 | رابط 16 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | س ∨ ع | س → ع | س | س ← ع | ع | س ↔ ع | س ∧ ع | ¬(س ∧ ع) | ¬(س ↔ ع) | ¬ع | ¬(س ← ع) | ¬س | ¬(س → ع) | ¬(س ∨ ع) | 0 |
يظهر من هذه القائمة ان الروابط 1، 4، 6، 11، 13 و 26 غير مفيدة. تبقى الروابط العشر الأخرى التي تأخذ معناها من معنى س وع معا، ولأنه يمكن كتابة هذه الروابط بطرق مختلفة فإنه يتم عادة اعتبار مجموعة أقل من الروابط كما تمّ مسبقا (النفي، الوصل، الفصل، الاستلزام والتكافؤ المنطقي). يمكن اعتبار أي رابط آخر برمز مناسب عند الحاجة (مثلا: س + ع كرمز للفصل الحصري، وهو الرابط 10).
حساب القضايا هو نظام ل حيث ل = {أ، ج، ز، ي} و:
عادة تحتوي كل مجموعة على الروابط المنطقية التي تأخذ عددا معينا من الرموز المنطقية، فيكون:
نظام الاستنتاج الطبيعي من أشهر أنظمة حساب القضايا لبساطته وسهولة الاستنتاج به. نفرض أن ل = {أ، ج، ز، ي} حيث:
يمكن برهنة صحة أو عدم صحة القضايا باستعمال حساب القضايا، حيث يتم استنتاج ذلك حسب تعريف حساب القضايا وباستعمال قواعد التحويل في خطوات تسمى استنتاجات أو تحويلات.
يوضح الجدول التالي برهانا للقضية س ← س، حيث تظهر خطوات البرهان سطرا بسطر:
مثال بسيط لبرهان | ||
---|---|---|
رقم | القضية | السبب |
1 | س | فرضا |
2 | س ∨ س | من (1) by باستعمال الفصل |
3 | (س ∨ س) ∧ س | من (1) و (2) باستعمال الوصل |
4 | س | من (3) بنشر الوصل |
5 | س ┤ س | ملخص لـ (1) إلى (4) |
6 | ┤ س ← س | من (5) |
تُقرأ س ┤ س ك: «لنفرض س، إذن س»، وتُقرأ ┤ س ← س ك: «لنفرض لاشيئ، إذن س تستلزم س».
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.