فضاء هيلبرت
فضاء متجهي مزود بجداء داخلي / من ويكيبيديا، الموسوعة encyclopedia
عزيزي Wikiwand AI, دعنا نجعلها قصيرة من خلال الإجابة ببساطة على هذه الأسئلة الرئيسية:
هل يمكنك سرد أهم الحقائق والإحصائيات حول فضاء هلبرت?
تلخيص هذه المقالة لعمر 10 سنوات
المفهوم الرياضياتي لفضاء هيلبرت (بالإنجليزية: Hilbert space) يعمم مفهوم الفضاء الإقليدي.[1][2][3] فهو فضاء معياري معرف عليه دالة الجداء الداخلي بشرط أن يكون المعيار المعرف عليه هو بدلالة دالة الجداء الداخلي هذه، بالإضافة إلى وجوب كونه فضاء معياريا كاملا أو ما يدعى ب فضاء باناخ. وهذا يعني أن أي فضاء هيلبرت هو فضاء باناخ ولكن العكس غير صحيح. مثال على ذلك، الفضاء Q هو فضاء منتظم تحت النظيم العادي ولكنه ليس بفضاء بانخ.
صنف فرعي من | |
---|---|
سُمِّي باسم | |
يُصوِّر |
يمكننا فضاء هلبرت من تعميم أساليب الجبر الخطي والتفاضل والتكامل المستخدمة في الفضاءات الإقليدية ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد إلى فضاءات قد تكون لانهائية البُعد. فضاء هلبرت هو فضاء متجهي مزود بجداء داخلي، وبذا يسمح بتعريف دالة مسافة وتعامد. وإضافة لذلك، فإن فضاء هلبرت هو فضاء متري كامل مع دالة المسافة المعرفة فيه (في هذه الحالة هي دالة المعيار)، مما يعني توفر النهايات التي تسمح باستخدام التفاضل والتكامل.
فضاءات هلبرت تظهر بشكل طبيعي كثيرًا في الرياضيات والفيزياء، عادةً كفضاء دالي لا نهائي الأبعاد. أقدم فضاءات هلبرت دراسةً كانت على يد ديفيد هيلبرت وإرهارد شميدت وفريجيس ريش "Frigyes Riesz" في العقد الأول من القرن العشرين. وتعتبر من الأدوات الهامة في المعادلات التفاضلية الجزئية، وميكانيكا الكم، وتحليل فورييه (الذي يتضمن تطبيقات لمعالجة الإشارات ونقل الحرارة)، ونظرية إرجوديك (التي تشكل الأساس الرياضي للديناميكا الحرارية). صاغ جون فون نيومان مصطلح فضاء هيلبرت للمفهوم التجريدي المستخدم في العديد من هذه التطبيقات المتنوعة. أدى نجاح أساليب فضاء هيلبرت إلى ازدهار التحليل الدالي. بعيدًا عن الفضاءات الإقليدية الكلاسيكية، فإن من أمثلة فضاءات هيلبرت فضاءات الدوال الكمولة تربيعيًا "Lp space"، وفضاءات المتسلسلات "Sequence space"، وفضاءات سوبوليف "Sobolev space" المكونة من دوال معممة، وفضاءات هاردي "Hardy space" للدوال تامة الشكل.
يلعب الحدس الهندسي دورًا مهمًا في العديد من جوانب نظرية فضاء هلبرت. توجد نظائر مطابقة لنظرية فيثاغورس وقانون متوازي الأضلاع في فضاء هلبرت. على مستوى أعمق، يلعب الإسقاط العمودي على فضاء جزئي (مناظر لـ «إسقاط ارتفاع» المثلث) دورًا مهمًا في مسائل التحسين وجوانب أخرى في النظرية. يمكن تحديد بشكل فريد عنصر في فضاء هيلبرت عن طريق إحداثياته المنسوبة لزمرة من محاور الإحداثيات (متعامدة القاعدة في فضاء هلبرت)، على غرار الإحداثيات الديكارتية في المستوى. عندما تكون هذه المجموعة من المحاور معدودة غير منتهية، في هذه الحالة يمكن النظر لفضاء هيلبرت على أنه فضاء متسلسلات لانهائية التي يمكن جمعها تربيعيًا. فضاء المتسلسلات اللانهائية هذا هو ما يشار إليه في كثير من الأحيان في الأدبيات الرياضية القديمة بفضاء هلبرت. المؤثرات الخطية في فضاء هلبرت أيضًا لها حضور كبير: في الحالات الجيدة، هي تحويلات تساهم في تمديد الفضاء بواسطة عوامل مختلفة في اتجاهات متعامدة تبادليًا بصورة دقيقة تظهر من خلال دراسة طيفها.