تكامل بالتجزئة

في التفاضل والتكامل -وبشكل عام في التحليل الرياضي، التكامل بالتجزئة أو التكامل بالأجزاء (بالإنجليزية: Integration by parts) هو إحدى القواعد التي تحول تكامل جداء دوال متعددة إلى تكامل آخر أكثر بساطة وسهولة.^[1][2][3] تنشأ القاعدة من قاعدة الجداء للاشتقاق.

لنفترض أن ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ دالتان متصلتان قابلتان للاشتقاق، وحسب قاعدة التكامل بالتجزئة فإن:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx={\Bigl [}f(x)g(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}g(x)f'(x)\,dx}$

وإذا افترضنا أن ${\displaystyle u}$ تساوي ${\displaystyle f(x)}$ و ${\displaystyle v}$ تساوي ${\displaystyle g(x)}$ فإنه يمكن كتابة القاعدة على النحو:

${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$

استخدام التكامل بالتجزئة

المثال الأول

${\displaystyle \int x\cos(x)\,dx}$

ليكن ${\displaystyle u=x}$ و ${\displaystyle dv=\cos(x)dx}$

إذا ${\displaystyle du=dx}$ و ${\displaystyle v=\sin(x)}$

ونحصل على ما يلي :

${\displaystyle \int x\cos(x)\,dx=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx=x\sin(x)-(-\cos(x))==x\sin(x)+\cos(x)+C}$

انظر أيضا

• تكامل بالتعويض
• تحويل ليجاندر