جداء نقطي

الجداء النقطي^[1] أو الضرب النقطي أو الجداء القياسي أو الضرب القياسي أو الجداء السُّلَّمِيّ^[2] (بالإنجليزية: Dot product) هو عمليةٌ جبرية بين متجهين ونتيجتها كمية قياسية.

تعريف

تعريف جبري عام

ليكن ${\displaystyle E}$ فضاء متجهي حقيقي (معرف على حقل الأعداد الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {R} }$)

نعرف الجداء السُلمي على أنه كل دالة ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }:\quad &E\times E\longrightarrow \mathbb {R} \\&(x,y)\longmapsto \displaystyle \langle x|y\rangle \\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle \forall x,y,z\in E\quad {\mathcal {\forall }}a,b\in {\displaystyle \mathbb {R} }}$

• ${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y|x\rangle }$
• ${\displaystyle \langle ax+by|z\rangle =a\langle x|z\rangle +b\langle y|z\rangle }$
• ${\displaystyle \langle x|x\rangle \geq 0}$
• ${\displaystyle \langle x|x\rangle =0\quad \Longleftrightarrow \quad x=0_{E}}$

تعريف على ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

الضرب القياسي الاعتيادي لمتجهتين ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ و ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ من ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ يعرف ويرمز له بـ ^[3]

${\displaystyle \langle x|y\rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$ :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}

على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، الضرب القياسي لمتجهين ${\displaystyle (1,-3,5)}$ و ${\displaystyle (-1,-2,4)}$ هو :

${\displaystyle (-1,-2,4)\cdot (1,-3,5)=(-1)\times 1+(-2)\times (-3)+4\times 5=-1+6+20=25}$

تعريف هندسي

الجداء القياسي بين متجهتين تكونان زاوية حادة ${\displaystyle \theta }$

في الفضاء الإقليدي، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =AB\cos \theta }$

حيث A هو طول المتجه A وB هو طول المتجه B وθ هي الزاوية المحصورة بينهما.

خصائص

1. تبديلي : ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$

   تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a وb)

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta =\|\mathbf {b} \|\|\mathbf {a} \|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }$

2. توزيعي على جمع المتجهات : (a.b + a.c = a.(b+c
3. تعامدي : متجهتان a وb مختلفتان عن الصفر يكونان متعامدتين إذا وفقط إذا توفر a.b = 0.
4. لا إلغاء :

تطبيق لقانون الجيب التمام

مثلث ضلعاه a وb تفصلهما زاوية θ.

المقالة الرئيسة: قانون جيب التمام

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} &=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=a^{2}-\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\&=a^{2}-2\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \\\end{aligned}}}$

وهذا هو قانون الجيب التمام. وتعبر أيضا عن خاصية الكاشي

في الفيزياء

الجداء القياسي يعبر عن كميات عددية لا علاقة لها برسم شعاع مثل (الجهد، العزم ....)

تعميمات

الجداء الداخلي

المقالة الرئيسة: فضاء الجداء الداخلي

انظر إلى فضاء متجهي معياري.

انظر أيضا

• ضرب متجهي
• ضرب المصفوفات
• جداء ثلاثي
• متراجحة كوشي-شفارز
• ضرب خارجي (رياضيات)
• هيرمان كراسمان