- معادلات تفاضلية جزئية
- معادلات تفاضلية عادية : هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغير مستقل واحد.
- مسائل قيم ابتدائية.
- مسائل قيم حدية.
مسائل القيم الابتدائية:
في هذا النوع من المسائل يكون للمعادلة التفاضلية شرط ابتدائي للمتغيرات المستقلة
الشرط الابتدائي يمثل النقطة الابتدائية للدالة التي تمثل حل المعادلة التفاضلية.
,
فيما يلي بعض الطرق العددية لإيجاد الحل العددي للمعادلة التفاضلية.
قبل استعراض الحل التقريبي للطرق العددية لمسالة القيمة الابتدائية نحتاج لبعض التعاريف والنظريات .
تعريف
لتكن داله نقول أن f دالة من النوع ليبتشيز في متغير y على المجموعة D ,
إذا وجد L>0
كلما أخذنا (t,y_1),(t,y_2) في D , يسمى L ثابت ليبتشيز للدالة f
مثال
أثبتي أن الدالة |f(t,y)=t|y تحقق شرط ليبتشيز في الفترة
الحل :
لأي زوج من النقاط (t,y_1),(t,y_2) في D
إذا ƒ تحقق شرط ليبتشيز
نفرض أن
بحيث دالة متصلة على D إذا كانت f دالة تحقق شرط ليبتشيز في متغير y على المجموعة D
فإن مسألة القيمة الابتدائية
لها حل وحيد في الفترة
مثال
أستخدم نظرية(1) لإثبات أنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية
الحل :
t ثابت نطبق نظرية القيمة المتوسطة للدالة
نجد أنه عندما , و عدد موجود في
f تحقق شرط ليبتشيز والثابت هو
وبالإضافة إلى ذلك متصلة عند
من نظرية (1) إنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية
- طريقة اويلر
- طريقة تايلور
طريقة تايلور من الرتب العليا
طريقة اويلر
هي تايلور من الرتبة الأولى
نظرية
إذا كانت f متصلة وتحقق شرط ليبتشيز على
ويوجد ثابت M بحيث يحقق
عندما تكون لها حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية
نفرض أن بحيث أن الخطأ المتولد من طريقة ايلور لأي عدد موجب N
- الخطأ النسبي لطريقة اويلر ناتج عن اختيار أول حدين من متسلسلة تايلور وحذف باقي الحدود.
- كلما زادت الرتبة في طريقة تايلور فإن الدقة تكون أفضل.
- numerical analysis / Richard . Burden /J.Douglas Faires /ninth edition
- مقدمة في التحليل العددي د.مجدي الطويل