في الرياضيات، الدوال المثلثية العكسية أو الدوال القوسية (بالإنجليزية: Inverse trigonometric functions) هي الدوال العكسية للدوال المثلثية معرفة على مجالات محدودة مناسبة معينة.[1] وبالتحديد، هن الدوال العكسية للدوال الست الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام،
وتستخدم للحصول على زاوية من أي من النسب المثلثية للزاوية. تستخدم الدوال المثلثية العكسية على نطاق واسع في الهندسة التطبيقية والملاحة والفيزياء والهندسة الرياضية.
القيم الرئيسية
بما أن الدوال المثلثية الست غير متباينة، تم اقتصارها حتى تكون لها دوال عكسية. لذلك، تكون مديات الدوال العكسية مجموعات فرعية لمديات الدوال الأصلية.
فمثلا، على سبيل المثال، باستخدام الدالة بمعنى الدوال متعددة القيم، تمامًا كما يمكن تعريف دالة الجذر التربيعي y = √x من y2 = x، يتم تعريف الدالة y = arcsin(x) كـ sin(y) = x.
العلاقات بين الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية
العلاقات بين الدوال المثلثية العكسية
زوايا متتامة:
مداخلها عبارة عن مقابل متغيرها:
مداخلها عبارة عن مقلوب متغيرها:
متطابقات المجموع والفرق
متطابقات أخرى
اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية
تُبين فيما يلي، اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية بالنسبة لقيم عقدية أو حقيقية للمتغير x:
=
المتساويتان التاليتان صالحتان فقط عندما يكون العدد x حقيقيا:
على سبيل المثال، إذا توفر ، فإنه يُحصل على ما يلي:
تكاملات الدوال المثلثية العكسية
باستخدام التكامل بالتجزئة، نجد أن:
يمكننا تعبير عن بعض د.م.ع. بواسطة متسلسلة ماكلورين:
حيث تشير n!! إلى عاملي ثنائي (ميز عن «عاملي مرتين» (n!)!).
فيما يلي، كسران مستمران معممان يمثلان دالة الظل العكسية. قد يستعملان تعويضا لمتسلسلة القوى للتعبير عن دالة الظل العكسية.
قد يتم التعبير عن هذه الدوال أيضًا باستخدام اللوغاريتمات العقدية. هذا يمَدِّد مجالاتهما إلى المستوي العقدي (المركّب) بطريقة طبيعية. تشبه هذه التعبيرات العبارات اللوغاريتمية للدوال الزائدية العكسية.
التمثيلات البيانية للدوال في المَعْلَم الديكارتي.
ت.ب لدالتي قوس الجيب (بالأحمر) وقوس جيب التمام (بالأزرق)
ت.ب لدالتي قوس الظل (بالأحمر) وقوس ظل التمام (بالأزرق)
ت.ب لدالتي قوس القاطع (بالأحمر) وقوس قاطع التمام (بالأزرق)
Graham Hall et Fred Goodrich Frink, chap. II « The Acute Angle (14) Inverse trigonometric functions », dans Trigonometry, Ann Arbor, Michigan, USA, Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA, janvier 1909 ,I: Plane Trigonometry, p. 15.. نسخة محفوظة 5 يوليو 2019 على موقع واي باك مشين.