Aniellu conmutativu

En teoría d'aniellos (una caña del álxebra astracta), un aniellu conmutativu ye un aniellu (R, +, ·) nel que la operación de multiplicación · ye conmutativa; esto ye, si pa cualesquier a, b ∈ R, a·b = b·a.

Aniellu conmutativu
graded-commutative ring (en) y polynomial identity ring (en)

Si adicionalmente l'aniellu tien un elementu unitariu 1 tal que 1a = a = a1 pa tou a, entós l'aniellu denominar aniellu conmutativu unitariu.

La caña de la teoría d'aniellos qu'estudia los aniellos conmutativos denominar álxebra conmutativa.

Exemplos

• L'exemplu más importante ye seique'l de los númberos enteros coles operaciones avezaes de suma y multiplicación, dambes conmutatives. Esti aniellu usualmente se denota por Z, pola pallabra alemana Zahlen (númberos).
• Los númberos racionales, reales, y complexos formen aniellos conmutativos coles operaciones avezaes; entá más, son cuerpos.
• Más xeneralmente, tou campu ye un aniellu conmutativu por definición.
• Pal casu, exemplu d'un aniellu non conmutativu ye'l conxuntu de matrices cuadraes de 2×2 con valores reales. Como segunda operación, la multiplicación matricial

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

da un resultáu distinta que si s'invierte l'orde de los factores:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.}$

• Otru aniellu non conmutativu ye'l conxuntu de les funciones continues reales definíes nel intervalu zarráu [0,1] cola adición de funciones, primer operación; y la segunda operación , la composición de funciones; cumplir la asociatividad, la distributividad y la esistencia de la unidá multiplicativa I/ I(x) = x.
• Si n > 0 ye un enteru, el conxuntu Z_n d'enteros módulu n forma un aniellu conmutativu con n elementos.
• Si R ye un aniellu conmutativu, el conxuntu de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un nuevu aniellu conmutativu, denotado por R[X].
• El conxuntu de númberos racionales de denominador impar forma un aniellu conmutativu, puramente conteníu nel aniellu Q de los racionales, y que contién puramente al Z de los enteros.

Propiedaes

• Si f : R → S ye un homomorfismo d'aniellos ente R y S, S ye conmutativu, y f ye inyectiva (esto ye, un monomorfismo), R tamién tien de ser conmutativu, pos f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
• Si f : R → S ye un homomorfismo d'aniellos ente R y S, con R ye conmutativu, la imaxe f(R) de R va ser tamién conmutativa; en particular, si f ye sobreyectiva (esto ye, un epimorfismo), S va ser conmutativu tamién.

El mayor interés de los aniellos conmutativos ta en cuando amás son unitarios, esto ye, los aniellos conmutativos unitarios.

Ver tamién

• Álxebra conmutativa