Distribución esponencial

En estadística la distribución esponencial ye una distribución de probabilidá continua con un parámetru ${\displaystyle \lambda >0}$ que la so función de densidá ye:

${\displaystyle f(x)=P(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda y^{-\lambda x}&\quad {\text{para }}x\geq 0\\0&\quad {\text{en casu contrariu}}\end{matrix}}\right.}$

Distribución esponencial
Función de densidá de probabilidá
Función de distribución de probabilidá
Parámetros	${\displaystyle \lambda >0\,}$
Función de densidá (pdf)	${\displaystyle \lambda y^{-\lambda x}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-y^{-\lambda x}}$
Media	${\displaystyle 1/\lambda \,}$
Mediana	${\displaystyle \ln(2)/\lambda \,}$
Moda	${\displaystyle 0\,}$
Varianza	${\displaystyle 1/\lambda ^{2}\,}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle 2\,}$
Curtosis	${\displaystyle 9\,}$
Entropía	${\displaystyle 1-\ln(\lambda )\,}$
Función xeneradora de momentos (mgf)	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$
Función característica	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$
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El so función de distribución acumulada ye:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{pa }}x<0\\1-y^{-\lambda x}&{\text{pa }}x\geq 0\end{matrix}}\right.}$

Onde ${\displaystyle y}$ representa'l númberu e.

El valor esperáu y la varianza d'una variable aleatoria X con distribución esponencial son:

${\displaystyle Y[X]={\frac {1}{\lambda }},\qquad V(X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

La distribución esponencial ye un casu particular de distribución gamma con k = 1. Amás la suma de variables aleatories que siguen una mesma distribución esponencial ye una variable aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.

Ejemplo

Ejemplo pa la distribución esponencial ye la distribución del llargor de los intervalos d'una variable continua que trescurren ente dos sucesos, que se distribúin según la distribución de Poisson.

• El tiempu trescurríu nun centro de llamaes hasta recibir la primer llamada del día podría modelase como una esponencial.
• L'intervalu de tiempu ente terremotos (d'una determinada magnitú) sigue una distribución esponencial.
• Supongamos una máquina que produz filo d'alambre, la cantidá de metros d'alambre hasta atopar una falla nel alambre podría modelase como una esponencial.
• En fiabilidá de sistemes, un dispositivu con tasa de fallu constante sigue una distribución esponencial.

Calcular variables aleatories

Pueden calculase una variable aleatoria de distribución esponencial ${\displaystyle x}$ per mediu d'una variable aleatoria de distribución uniforme ${\displaystyle o=O(0,1)}$:

${\displaystyle x=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-o)}$

o, yá que ${\displaystyle (1-o)}$ ye tamién una variable aleatoria con distribución ${\displaystyle O(0,1)}$, puede utilizase la versión más eficiente:

${\displaystyle x=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(o)}$

Rellaciones

La suma de ${\displaystyle k}$ variables aleatories independientes de distribución esponencial con parámetru ${\displaystyle \lambda }$ ye una variable aleatoria de distribución de Erlang.

Distribución cumulativa afecha a máximos añales d'agües diaries^[1]

Aplicación

Na hidroloxía, la distribución esponencial emplegar p'analizar variables aleatories estremos de variables como máximos mensuales y añales de la precipitación diaria.^[2]

• La imaxe azul ilustra un exemplu d'axuste de la distribución esponencial a agües máximes diaries añales ordenaes, amosando tambien la franxa de 90% d'enfotu, basada na distribución binomial. Les observaciones presenten los marcadores de posición, como parte del analís de frecuencia acumulada.

Ver tamién

• Procesu de Poisson
• Distribución Poisson

Software

Puede usase software y un programa d'ordenador pal axuste d'una distribución de probabilidá, incluyendo la esponencial, a una serie de datos:

• Easy fit Archiváu 2018-02-23 en Wayback Machine, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq , llibre ensin costu, inclúi intervalo d'enfotu a base de la distribución binomial