Distribución t de Student

En probabilidá y estadística, la distribución t (de Student) ye una distribución de probabilidá que surde del problema d'envalorar la media d'una población de normal distribuyida cuando'l tamañu de la muestra ye pequeñu.

Distribución t de Student
Función de densidá de probabilidá
Función de distribución de probabilidá
Parámetros	${\displaystyle \nu >0\!}$ graos de llibertá (real)
Función de densidá (pdf)	${\displaystyle {\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$ onde ${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$ ye la función hiperxeométrica
Media	${\displaystyle 0}$ pa ${\displaystyle \nu >1}$, indefinida pa otros valores mediana = ${\displaystyle 0}$
Moda	${\displaystyle 0}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}\!}$ pa ${\displaystyle \nu >2}$, indefinida pa otros valores
Coeficiente de simetría	${\displaystyle 0}$ pa ${\displaystyle \nu >3}$
Curtosis	${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}\!}$ pa ${\displaystyle \nu >4}$
Entropía	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle \psi }$: función digamma, * ${\displaystyle B}$: función beta
Función xeneradora de momentos (mgf)	(Non definida)
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Apaez de manera natural al realizar la prueba t de Student pa la determinación de les diferencies ente dos medies muestrales y pa la construcción del intervalu d'enfotu pa la diferencia ente les medies de dos poblaciones cuando se desconoz la esviación típica d'una población y ésta ten de ser envalorada a partir de los datos d'una muestra.

Carauterización

La distribución t de Student ye la distribución de probabilidá del cociente

${\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu \ }{V}}}}$

onde

• Z ye una variable aleatoria distribuyida según una normal típica (de media nula y varianza 1).
• V ye una variable aleatoria que sigue una distribución χ² con ${\displaystyle \nu \ }$ graos de llibertá.
• Z y V son independientes

Si μ ye una constante non nula, el cociente ${\displaystyle {\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu \ }}}}$ ye una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student non central con parámetru de non-centralidad ${\displaystyle \mu }$.

Apaición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X₁,..., X_n son variables aleatories independientes distribuyíes de normal, con media μ y varianza σ². Sía

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$

la media muestral. Entós

${\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sicasí, yá que la esviación estándar non siempres ye conocida de mano, Gosset estudió un cociente rellacionáu,

${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{S_{n}/{\sqrt {n}}}},}$

${\displaystyle S^{2}(x)={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$

ye la cuasivarianza muestral y demostró que la función de densidá de T ye

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}}$

onde ${\displaystyle \nu \ }$ ye igual a n − 1.

La distribución de T llámase agora la distribución-t de Student.

El parámetru ${\displaystyle \nu \ }$ representa'l númberu de graos de llibertá. La distribución depende de ${\displaystyle \nu \ }$, pero non de ${\displaystyle \mu }$ o ${\displaystyle \sigma }$, lo cual ye bien importante na práutica.

Intervalos d'enfotu derivaos de la distribución t de Student

El procedimientu pal cálculu del intervalu d'enfotu basáu na t de Student consiste n'envalorar la esviación típica de los datos S y calcular l'error estándar de la media: ${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {S}{\sqrt {n}}}}$, siendo entós l'intervalu d'enfotu pa la media: ${\displaystyle {\overline {X}}=\pm t_{\alpha /2,n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}}$ .

Ye esta resultancia'l que s'utiliza nel test de Student: yá que la diferencia de les medies de muestres de dos distribuciones normales distribúyese tamién de normal, la distribución t puede usase pa esaminar si esa diferencia puede razonablemente suponese igual a cero.

Pa efeutos práuticos el valor esperáu y la varianza son:

${\displaystyle Y(t(n))=0}$ y ${\displaystyle Var(t(n-1))=n/(n-2)}$ pa ${\displaystyle n>2}$

Historia

La distribución de Student foi descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabayaba nuna fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a los sos emplegaos la publicación d'artículos científicos por cuenta de un espardimientu previu de secretos industriales. D'ende que Gosset publicara les sos resultaos sol seudónimu de Student.^[1]

Distribución t de Student non estandarizada

La distribución t puede xeneralizase a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional ${\displaystyle \mu }$ y otru d'escala ${\displaystyle \sigma }$. La resultancia ye una distribución t de Student non estandarizada que la so densidá ta definida por:^[2]

${\displaystyle p(x|\nu ,\mu ,\sigma )={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Equivalentemente, puede escribise en términos de ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ (correspondiente a la varianza en cuenta de a la esviación estándar):

${\displaystyle p(x|\nu ,\mu ,\sigma ^{2})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu \sigma ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Otres propiedaes d'esta versión de la distribución t son:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Y} (X)&=\mu \quad \quad \quad {\text{para }}\,\nu >1,\\{\text{Var}}(X)&=\sigma ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}\,\quad {\text{para }}\,\nu >2,\\{\text{Moda}}(X)&=\mu .\end{aligned}}}$