Homotopía

En topoloxía, y más precisamente en topoloxía alxebraica, dos aplicaciones continues d'un espaciu topolóxicu n'otru dícense homotópicas (del griegu homos = mesmu y topos = llugar) si una d'elles puede "deformarse de cutio" na otra.

Los dos caminos en negrina que s'amuesen enriba son homotópicos en rellación a los sos estremos. Les llinies fines marquen isocontornos d'una posible homotopía.

Definición formal

Dos aplicaciones continues ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ dícense homotópicas si esiste otra aplicación (continua tamién) ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$ tal que:

${\displaystyle H(x,0)=f(x)\,}$

${\displaystyle H(x,1)=g(x)\,}$

Un exemplu importante son les distintes clases (homotópicas) de mapeos del círculu a un espaciu ${\displaystyle X}$

${\displaystyle S^{1}\to X\,}$

la estructura resultante ye'l perimportante grupu fundamental.

• Si dos aplicaciones f y g son homotópicas, escríbese f ≃ g; lo que significa esta rellación ye efeutivamente una rellación d'equivalencia sobre'l conxuntu d'aplicaciones continues de de X en Y, Les clases d'equivalencia denominar clases de homotopía d'aplicaciones.^[1]

Tipu homotópico

Dizse que dos espacios X, Y tienen el mesmu tipu homotópico, si esiste un par d'aplicaciones ${\displaystyle X{\stackrel {f}{\to }}Y}$ y ${\displaystyle Y{\stackrel {g}{\to }}X}$ tales que ${\displaystyle g\circ f}$ y ${\displaystyle f\circ g}$ son homotópicos a ${\displaystyle Id_{X}}$ y ${\displaystyle Id_{Y}}$ respeutivamente.

Suel ser utilizáu'l símbolu: ${\displaystyle f\simeq g}$, pa indicar que los oxetos f y g son homotópicos.

Como exemplos, una 1-esfera y un toru sólidu tienen el mesmu tipu homotópico. Un espaciu topolóxicu que tien el mesmu tipu homotópico qu'un conxuntu unitariu dizse contractible.